Собственные и вынужденные колебания в системах

(1)

(2)

Разрешенная старшая относительная форма.

Положение равновесия хар-ся тем, что производные =0. Для того, чтобы изучить положение равновесия все произв. полагают равными нулю.

;

И подставим в уравнение (2) нулевые значения

(3)

(3)- Ур-ние равновесия.

Положение равновесия: y, обычно известная т.к. y-входная координата (переменная)

Разрешим это уравнение:

Случай при решении этого Ур.:

-одно решение х

-много решений;

-не одного.

Если нет ни одного решения-значит нет положения равновесия, одно решение-одно положение равновесий (нужно проверить устойчиво ли оно), много решение- много положений равновесия.

Выбирается одно положение равновесия и исследуется вблизи этого положения равновесия. В линейной рассматривается устойчивое положение всей системы.

,

В этих точках функции:

В окрестности точки

Из (4) вычтем Ур-ние (3).

Речь идет не от конкретных координат х или у, а отклонение от положения равновесным

-отклонение от положение от положения равновесия.

При линеолизации перешли к новой точке отсчета, так чтобы новая точка отсчета положения равновесия равнялась 0.

В линейных нет другого положения, как положение покоя. Следовательно это синоним.

Все линейные уравнения в отклонениях от положения равновесия.

В математике ДУ записывают в таком виде:

(5)

Это функция времени, т.к. стоит (в теории) буква t.

В общем курсе ДУ речь идет о решении одного уравнения, самого по себе. Если y известна, то можно продифференцировать, сложить, вычислить правую часть.

В системах автоматического управления это составная часть, следовательно вынуждены записывать в таком виде.(5)

В математике говорят: (решение Ур-нения (5) – это значении функции, что будучи поставлены в уравнение- оно приводит его к тождеству) складывается из общего решения однородного ДУ

(6)

и частного решения уравнения (5).

В теории колебания это же самое говорится по-другому: колебания системы складываются из собственных колебаний и вынужденных. Колебания системы описываются уравнением (3) складываются из собственных и вынужденных.

Собственные колебания…

Общее решение уравнения(6):

(7)

Где λ – корни уравнения (6), С_i – произвольная постоянная. t=0

Все условия касающиеся только начального момента времени.

Для производной:

Уравнение разрешается и получ. Не общее решение, а выражение для собственных колебаний.

(Собст) Изучение устойчивости сводится к изучению собственных колебаний, как только доходит речь о устойчивости, то сразу получаем, что правая часть =0. Устойчивость системы в самом примитивном смысле -это положение равновесия.

Устойчивое положение –это если система выведена из него, она вернется опять в это положение без внешних воздействий.

Нет никаких воздействий, то изучение можно свести к изучению собственных колебаний.

Начиная с положения t=0 внешнего воздействия нет.

Решение для устойчивости системы необходимо чтобы x(t)->0 при любых начальных условиях (при любых С_i, т.к. С опред. через начальные условия), где λ_i – отрицательное, тогда каждое слагаемое стремится к 0.

Все корни должны лежать в левой полуплоскости(для устойчивости системы). На самом деле выраж. (7) справедливо, когда корни различны. Когда корни совпадают, говорят что кратные корни. В этом случае уравнение (7) будет сложным.

Кратность корней – это математическая точка зрения, а не физическая.(тут хоть на маленькие доли, но они разные)

Условие устойчивости

Собственные колебания определяются только начальными условиями, т.к.внешние воздействия f(t)=0. Вынужденные колебания определяются только внешними воздействиями при начальных условиях (в ДУ). Когда речь идет о преобразовании сигнала речь идет о вынужденных колебаниях.

В теории управления говорят о преобразовании входного сигнала в выходной и при этом большинство не оговариваются, что при нулевых начальных условиях.

линейных нет другого положения, как положение покоя. стемы.- много положений равновесия