Приведение распределенных (рассредоточенных) масс

Для решения задач динамики целесообразно представлять распределенные массы в виде сосредоточенных в заданной точке элемента. При этом должно выполняться сформулированное в п. 1.3 условие как равенство кинетических энергий приведенной (сосредоточенной) массы и всех элементарных масс, распределенных по длине действительного элемента.

Рассмотрим некоторые примеры приведения распределенных масс.

1.4.1. Стержень постоянного сечения (S=const)

Удлинение части стержня длиной x равно

, (7)

где q – погонный вес стержня;

E – модуль нормальной упругости;

S – площадь поперечного сечения.

При получим

. (8)

Поскольку из формулы (8)

, (9)

можем записать:

. (10)

Скорость перемещения элемента стержня dx равна

. (11)

Кинетическая энергия элемента стержня длиной dx

. (12)

Кинетическая энергия всего стержня

. (13)

После интегрирования и преобразований получим

. (14)

При приведении распределенной массы стержня m к его концу приведенная кинетическая энергия равна

. (15)

Таким образом, при условии получим

. (16)

При приведении распределенной массы стержня m к сечению со скоростью u_x

. (17)

Из условия будем иметь для любого сечения стержня

. (18)