Число состояний микрочастицы

Глава 3

СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Число состояний микрочастицы

Во всем дальнейшем изложении важную роль будет играть понятие о числе квантовых состояний, соответствующих значениям энергии частицы в некотором заданном интервале. В квантовом случае – это число уровней энергии частицы , лежащих в заданном интервале и кратность вырождения каждого уровня . Так, при движении частицы в одномерной потенциальной яме между точками x = 0 и x = l кратность вырождения каждого уровня Поэтому в этом случае число состояний равно числу уровней энергии. Если взять значение энергии частицы в интервале от 0 до некоторого значения ε, то число уровней будет равно квантовому числу n при заданном значении Из формулы энергии частицы в одномерной потенциальной яме находим Это и есть число состояний частицы, движущейся в одномерной потенциальной яме с энергией в интервале от 0 до ε. Аналогично можно найти и число состояний микрочастицы с энергией в интервале от 0 до ε, совершающей гармонические колебания (квантового гармонического осциллятора). Так как уровни энергии не вырождены, то число состояний и здесь равно числу уровней энергии в указанном интервале. Учитывая, что расстояния между любыми двумя соседними уровнями квантового гармонического осциллятора одинаковы и равны где ω – частота колебаний осциллятора, то указанное число состояний можно найти, разделив ширину указанного интервала энергии на расстояние между уровнями

На примере движения микрочастицы в одномерной потенциальной яме мы видели, что дискретность уровней энергии проявляется тем ярче, чем меньше масса m частицы, ширина ямы l и квантовое число n. Наоборот, при больших значениях m, l, n квантование энергии проявляется сравнительно слабо. Эти выводы имеют общий характер. В молекулярно-кинетической теории газов приходится иметь дело со сравнительно тяжелыми частицами (молекулами), движущимися в макроскопических объемах, границы которых представляют собой для частиц газа трехмерную бесконечно глубокую потенциальную яму. Для таких систем квантование энергии играет сравнительно малую роль. Так, в случае поступательного движения молекулы квантованием энергии можно пренебречь, но внутренние движения (вращение и колебание), происходящие в микроскопическом объеме (внутри молекулы), имеют квантовый характер и ими не всегда можно пренебречь. В любом случае квантованием энергии можно пренебречь, если температура термодинамической системы такова, что расстояние между соседними уровнями энергии частицы окажется не больше средней тепловой энергии частицы, т.е. при

(3.1)

Таким образом, в области высоких температур возможен переход к так называемому квазиклассическому способу описания. Суть его состоит в том, что состояние частицы, как и в классической механике, определяется заданием трех координат x, y, z и трех проекций импульса p_x, p_y, p_z, но при этом принимается, что, в соответствии с принципом неопределенности, эти величины одновременно могут быть определены лишь с точностью, не превышающей той, которая дается соотношениями неопределенностей

(3.2)

Для определения числа состояний в квазиклассическом приближении введем в рассмотрение так называемое фазовое или μ -пространство. Так называют воображаемое пространство шести измерений, по шести осям которого откладывают три координаты x, y, z и три проекции импульса p_x, p_y, p_z. Состояние одной частицы по классическим (неквантовым) представлениям в таком пространстве изображается одной точкой (эту точку называют изображающей точкой), а состояние системы N частиц – совокупностью N точек. Такое шестимерное пространство можно рассматривать как совокупность обыкновенного (физического) трехмерного пространства координат и трехмерного пространства импульсов. Учтем теперь, что в соответствии с принципом неопределенности значения координат и импульсов частицы невозможно определить точнее, чем это диктуется соотношениями неопределенностей (3.2). Поэтому два состояния частицы с координатами, например, x и x + ∆ x и проекциями импульсов p_x и p_x + ∆ p_x можно отличить друг от друга лишь в том случае, если эти величины будут не меньше тех, которые допускаются соответствующим соотношением неопределенностей.

Перемножив левые и правые части соотношений (3.2), получим

Как видим, величина определяет наименьший объем ячейки в фазовом μ -пространстве. Отсюда следует, что в фазовом μ -пространстве каждому состоянию частицы соответствует не одна изображающая точка, а целая фазовая ячейка, объем которой . Это означает также, что на каждое квантовое состояние частицы в фазовом пространстве приходится фазовая ячейка объемом . О частицах, состояниям которых соответствуют определенные фазовые ячейки, говорят, что они находятся в этих ячейках.

В квазиклассическом приближении число состояний частицы – это число фазовых ячеек, содержащихся в объеме фазового пространства, соответствующем заданному интервалу энергии. Пользуясь этим приближением, найдем число состояний одной частицы, движущейся в объеме V, с энергией, не превышающей некоторого значения ε. Так как энергия частицы, не находящейся во внешнем силовом поле,

то

В пространстве импульсов это есть уравнение сферы радиусом . Следовательно, состояниям частицы с определенным значением энергии ε, а значит, и с определенным значением импульса p в пространстве импульсов соответствует сфера радиусом , а состояниям с энергией, не превышающей ε, и импульсом, не превышающим значения р, – шар, объем которого равен Состояниям с импульсом в интервале от p до p + dp соответствует объем шарового слоя, заключенного между сферами радиуса p и p + dp. Этот объем равен В μ -пространстве этим состояниям соответствует объем Разделив этот объем на объем, приходящийся на одно состояние , получим число состояний частицы с импульсом, заключенным в интервале от p до p + dp:

(3.3)

Выразив по формуле импульс через энергию, получим число состояний частицы, движущейся в объеме V, приходящихся на интервал энергии от ε до ε + dε:

(3.4)

Таким образом,. dw (ε) ~

Пользуясь квазиклассическим приближением, получим снова число состояний частицы, движущейся в одномерной потенциальной яме и совершающей гармонические колебания с частотой ω. Фазовое пространство для частицы в потенциальной яме будет плоскостью . Фазовая траектория при движении частицы вдоль оси будет представлять собой отрезок длиной l (рис. 3.1). После отражения от границы ямы импульс, не меняясь по величине, изменит направление на про-

Рис. 3.1

тивоположное. Теперь фазовая траектория изобразится отрезком Расстояние между этими отрезками по вертикали будет Фазовый объем – площадь прямоугольника, ограниченная указанными отрезками, а также осью p_x и прямой x = l. Учитывая, что получим

Объем, приходящийся на одно состояние, в одномерном случае равен Разделив площадь S на придем к числу состояний, в точности равном ранее полученному значению

Фазовая траектория частицы, совершающей гармонические ко-

Рис. 3.2

лебания, на плоскости как было показано в разделе «Механические колебания», представляет собой эллипс (рис. 3.2) с полуосями и Фазовым объемом будет площадь этого эллипса: