Осциллятора

Применяя формулу (3.10), найдем среднюю тепловую энергию квантового гармонического осциллятора, находящегося при температуре T. Энергия такого осциллятора, как уже отмечалось выше, может принимать только дискретные значения

При определении средней тепловой энергии осциллятора его нулевую энергию можно не учитывать, т.е. принять ее за начало отсчета энергии осциллятора. Тогда Учитывая также, что кратность вырождения уровней энергии осциллятора при любом n, а

как сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем получим

=

Проведя дифференцирование, для средней энергии гармонического осциллятора будем иметь

. (3.11)

Формула (3.11) впервые была получена М. Планком и явилась первой формулой квантовой механики. Эта формула и определяет энергию, приходящуюся на каждую колебательную степень свободы. Полученное выражение существенно отличается от классического и зависит от частоты колебания. Эта зависимость показана на рис. 3.2. Как видим, энергия убывает с ростом частоты от значения = (при ) до нуля (при ). Классическое значение осциллятор имеет при низких частотах и высоких температурах, когда В этом случае экспоненту можно разложить в ряд по степеням величины и ограничиться первыми двумя членами. Тогда получим

Подставляя это в формулу (3.9), придем к классическому значению .

Поскольку величина представляет собой расстояние между соседними уровнями энергии осциллятора, то условие совпадает с общим условием (3.1) пренебрежения квантованием энергии. При выполнении этого условия квантовый характер осциллятора не проявляется, и он ведет себя как классическая колеблющаяся частица, обладающая средней тепловой энергией