Закон розподілу Больцмана

Розглянемо закон розподілу мікрочастинок за потенціальними енергіями на прикладі молекул ідеального газу, що перебуває в полі тяжіння. Нехай сили поля спрямовані уздовж осі (рис. 6.1). Очевидно, що тиск газу в різних точках уздовж осі буде різним. Виберемо дві площини , орієнтовані перпендикулярно осі z і які розташовані одна від одної на відстані . Якщо тиски газу на обох площинах рівні Р і , то різниця тисків повинна дорівнювати сумарній силі, що діє на частинки газу, вміщені в об'ємі паралелепіпеда з основою і висотою , віднесеній до площі основи:

де – концентрація молекул газу в цьому об'ємі, а – сила, що діє на одну молекулу газу в точці з координатою .

Сила пов'язана з потенціальною енергією молекули співвідношенням . Таким чином, додатковий тиск .

Вважаючи температуру розглянутого ідеального газу у всіх точках однаковою, на підставі рівняння Мендєлєєва–Клапейрона знаходимо, що . Співставляючи два останні рівняння для , отримаємо:

Інтегрування цього виразу з наступним потенціюванням дасть такий результат:

Тут та – концентрації молекул газу в станах з умовно прийнятою нульовою потенціальною енергією й потенціальною енергією відповідно.

Рівняння (6.5) називають законом розподілу Больцмана. Це рівняння може бути отримане шляхом більш загальних теоретичних міркувань і має універсальний характер. Воно може бути застосовано до будь-яких систем мікрочастинок, які розташовані в різних потенціальних полях.

Стосовно до поля тяжіння Землі на невеликій висоті рівняння (6.5) набирає вигляду:

(6.6)

де – маса молекули.

Для двох різних станів з потенціальними енергіями та одержимо:

(6.7)

Оскільки тиск газу зв'язаний з його концентрацією співвідношенням , то на підставі рівнянь (6.6) знаходимо:

(6.8)

Тут і тиски газу на поверхні Землі та на висоті відповідно, – молярна маса газу. Рівняння (6.8) називають барометричною формулою. У випадку значних висот потенціальну енергію потрібно прийняти рівною

Тоді рівняння (6.6) і (6.8) набирають вигляду:

(6.9)

(6.10)

Тут – відстань від центра Землі до даної точки простору, та – концентрація молекул і тиск газу на нескінченно великих відстанях від Землі.

З рівняння (6.10) випливає, що концентрація молекул газу на нескінченно великій висоті над Землею:

(6.11)

відмінна від нуля. Це суперечить досвіду, оскільки земна атмосфера не перебуває в стані теплової рівноваги. Закон розподілу Больцмана знаходить дослідне підтвердження. Як приклад радимо студентам самостійно розглянути досліди Перрена з визначення числа Авогадро за [1], [2], [3].