Рациональные уравнения

Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения

В заданиях В7 предложены несложные рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические или тригонометрические уравнения.

При выполнении операций над любыми уравнениями, которые могут привести к новому уравнению, неравносильному исходному уравнению, помните, что:

1) сокращение обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней уравнения;

2) при возведении обеих частей уравнения в квадрат (вообще в четную степень), а также при умножении на множитель, содержащий неизвестное и обращающийся в нуль при действительных значениях неизвестного, могут появляться посторонние корни.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) – рациональные выражения. Если f(x) и g(x) – целые выражения, то уравнение называется целым. Например, целыми являются линейные, квадратные уравнения.

Если же хотя бы одно из выражений f(x), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называется дробным (или дробно-рациональным).

В7. Найдите корень уравнения . Решение: ; В бланк ответов: В7 -

Пример 1 (Линейное уравнение).

Пример 2 (Квадратное уравнение).

В7.Найдите корень уравнения х2 - 13х + 36 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Решение: Здесь а = 1, b = -13, с = 36. Имеем 2 корня, которые найдем по формуле: Итак, т.е. -корни заданного уравнения. Меньший из них 4. В бланк ответов: В7

Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.