Момент инерции. Теорема Штейнера

Содержание

1. Цель работы.. 4

2. Теоретическая часть. 4

2.1. Момент инерции. Теорема Штейнера. 4

2.2. Метод трифилярного подвеса. 6

3. Приборы и принадлежности. 9

4. Требования по технике безопасности. 9

5. Порядок выполнения работы.. 9

6. Требования к отчету. 12

7. Контрольные вопросы.. 13

Список литературы.. 13

Лабораторная работа № 1

Определение моментов инерции твердых тел

Методом трифилярного подвеса

Цель работы

1.1. Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.

1.2. Проверка теоремы Штейнера.

Теоретическая часть

Момент инерции. Теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки m_i на квадрат ее расстояния до оси

.

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело

. (2.1)

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом dV и массы dm, его момент инерции можно рассчитать интегрированием

, (2.2)

где r – расстояние от элемента тела объемом dV до оси, относительно

которой рассчитывается момент инерции.

Так как dm = r dV, где r – плотность тела в данной области dV, то .

Если тело однородно, то для всех областей ρ одинаково и

. (2.3)

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему.

Рассчитаем момент инерции сплошного однородного диска массы m и радиуса R относительно оси симметрии (рис. 2.1). Разобьем диск на кольцевые слои толщиной и радиуса . Объем такого слоя равен , где – толщина диска.

С учетом (2.3) момент инерции диска

.

Вынесем за знак интеграла постоянный множитель

.

Введя массу диска , как произведение плотности на объем диска , получим

. (2.4)

Из (2.4) следует, что момент инерции сплошного однородного диска зависит только от его массы и радиуса и не зависит от толщины диска. Поэтому формула (2.4) применима для расчета момента инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно любой параллельной оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера. Согласно теореме Штейнера, момент инерции J тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями

. (2.5)

Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является его масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.