2569
Задача 1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид х = А + Вt + + Сt2, где А = 5 м; В = 4 м/с; с = -1 м/с2. 1) Определить момент времени, в который скорость точки равна u = 0. 2) Найти координату и ускорение в этот момент времени. 3) Определить среднюю скорость за 4 секунды. 4) Построить графики координаты, пути, скорости и ускорения этого движения.
| Решение. Из уравнения движения х = А + Вt + сt2 найдем скорость:
 (1.12)
и ускорение:
 с (1.13)
|
1. Определим момент времени t2, в который скорость равна нулю: u = 0, подставив значение скорости в уравнение (1) получим:
0 = В + 2сt, 
Проверим размерность:
.
2. Координата в этот момент времени
х = 5+4.2 + (-1).22 = 9 м.
Проверим размерность
.
Ускорение 
.
Проверим размерность 
.
3. Для определения средней скорости определим координату в моменты времени: t0=0, t2 = 2 с и t1 = 4 с, соответственно:
;
;
.
Пройденный путь за 4 секунды равен: 
, где путь, пройденный за первые две секунды: 
м; путь, пройденный за последние две секунды: 
м;
DS = 4 + 4 = 8 м;
DS = (х2 – х0) + (х2 – х1) = (9-5) + (9-5) = 8 м.
Средняя скорость определяется уравнением (1.4):
.
4. Для построения графиков составим таблицу значений координаты, скорости и ускорения.
| t,с | |||
| х,м | |||
| u, м/с | -4 | ||
| а, м/с2 | -2 | -2 | -2 |
| Определим значения скорости в момент времени t0 =0 и t1 =4 из уравнения (1.1 а) u0 = В; u0 = 4 (м/с); u1 = В + 2сt; u1 = 4 +2.(-1). 4 = -4 м/с. Используя данные таблицы, чертим график координаты (рис. 1.1, а). График пути строим, исходя из следующих соображений: 1) путь и координата до момента времени t2 = 2 c, в которой изменяется знак скорости (ее направление), совпадают; 2) после момента t2 = 2 c координата убывает, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которому убывает координата. График пути до момента времени t2 = 2 c совпадает с графиком координаты, но, начиная с этого момента, является зеркальным отображением графика координаты рис. 1.1, а, штриховая линия. График скорости изображен на рис. 1.1 б, график ускорения – на рис. 1.1, в. |
Ответ: t = 2 с; х = 9 м; а= -2 м/с2; uср = 2,25 м/с.
Задача 2. Автомобиль проходит последовательно два одинаковых участка пути каждый по S = 10 м с постоянным ускорением, причем первый участок пути пройден автомобилем за t1 = 1,5 секунды, а второй – за t2 = 2 секунды. 1) С каким ускорением a движется автомобиль? 2) Какова скорость u0 автомобиля в начале первого участка? 3) Какова скорость u2 в конце второго участка пути?
| Решение. Для определения ускорения запишем уравнение пути для первого и второго участков:
 (1.14)
 (1.15)
|
Определим из уравнения (1.2а) начальную скорость: 
, скорость в начале второго участка: 
; подставим полученные выражения в уравнение (1.15):
,
решаем уравнение и получаем значение ускорения:
.
Проверяем размерность:
.
Произведем расчет
м/с2,
отрицательное значение ускорения означает, что движение равнозамедленное.
2. Определим скорость автомобиля в начале первого участка:
.
Проверим размерность:
;
.
3. Скорость в конце второго участка
.
Размерность
.
Ответ: а = -0,95 м/с2; u0 =7,4 м/с; u2 =4,1 м/с.
Задача 3. С некоторой высоты свободно падает тело (рис. 1.2). Через 2 секунды с той же высоты падает второе тело. 1) Через сколько секунд удвоится расстояние, разделяющее тела до начала падения второго тела? 2) Чему равно это расстояние?
| Решение. Выберем положительное направление оси ОУ по направлению движения (падения) тела. За начало отсчета возьмем начальное положение тела (рис. 1.2). Уравнение движения первого тела
 (1)
второго
 (2)
Определим расстояние между телами:
 .
|
Для момента времени t = 0 это расстояние h0 = у1-у2 = 2g. Определим время, за которое это расстояние удвоится: h=у1-у2 = 2g(t-1), так как h = 2 h0, то 2 ´ 2g = 2g(t-1). Решая уравнение, получим: t = 6g/2g; t =3 с.
Расстояние между точками в момент времени t:
Ответ: t = 3 с, 
.
