2015-10-16
806
Задача 1. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном положении. При какой минимальной скорости u, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R = 6,57.106 м).
Решение. Чтобы определить минимальную скорость u1 ракеты, надо найти ее минимальную кинетическую энергию T1. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии:
T1+П1=Т2+П2 , (9.8)
где Т1 и П1 – кинетическая и потенциальная энергия системы ракета–Земля в начальном состоянии (на поверхности Земли); Т2 и П2 – те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли). Поэтому Т1 есть начальная кинетическая энергия ракеты:
. (9.9)
Потенциальная энергия системы в начальном состоянии:
. (9.10)
По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия будет возрастать, а кинетическая – убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия станет равной нулю (Т2=0), а потенциальная энергия П2 достигнет максимального значения:
|
|
|
; (9.11)
Подставив значения Т1, П1, Т2 и П2 в (9.8, 9.9, 9.10, 9.11) получим
. (9.12)
Затем после сокращения на m найдем:
; (9.13)
Учитывая, что 
(g – ускорение свободного падения у поверхности Земли), запишем эту формулу в виде
,
что совпадает с выражением для первой космической скорости.
Подставив числовые значения величин и произведя вычисления, получим:u1 = 7,9.103 м/с.
Ответ: u1 = 7,9.103 м/с.
Задача 2. Вычислить работу А2 сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой m = 10 кг из точки 1 в точку 2. Радиус Земли и ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли считать известным (рис. 9.1).
| Решение. Для решения задачи воспользуемся соотношением между работой и изменением потенциальной энергии. Так как силы системы – гравитационные – относятся к силам консервативным, то работа сил поля совершается за счет убыли потенциальной энергии, т.е. А12 = П1 – П2 ,где П1 и П2 – потенциальные энергии системы тело–Земля, соответственно, в начальном и конечном ее состояниях. |
На расстоянии rпотенциальная энергия выразится равенством
,
где М – масса Земли. Для расстояний r1 = 3 R и r2 =2 R, заданных в условии задачи, получим два выражения потенциальной энергии:
, 
.
Тогда работа
.
Учитывая, что 
, преобразуем последнее выражение к виду
.
Подставив значения m, g, R в это выражение и произведя вычисления, получим:
A 12= 104ּ106 Дж.
Ответ: A 12 = 104ּ106 Дж.
Задача 3. В гравитационном поле Земли тело массой m перемещается из точки 1 в точку 2. Определить скорость 
тела в точке 2, если в точке 1 его скорость 
= 7,9 км/с. Ускорение свободного падения считать известным.
| Решение. По закону сохранения энергии
T1+П1=Т1+П2 =>
 ; ;
|
; 
;
|
|
|
.
Учитывая, что GM=gR2, после преобразований получим:
; 
,
так как 
,
то 
.
