Примеры решения задач

Задача 1. На поверхности клина находится брусок. С каким ускорением надо двигать клин, чтобы брусок не соскальзывал с него, если трением можно пренебречь? Угол между горизонтальной и боковой поверхностями клина – a (рис. 8.1).

Решение. При равновесии должно выполняться условие равенства нулю суммы всех сил, действующих на тело: , (8.7) где F_in = - m×a. Для проекций векторов сил на оси X и Y получим систему уравнений: У: N×sina-m×g =0; (8.8) X: N×cosa=m×a. (8.9)

Находим N из уравнения (8.8).

N = , (8.10)

подставляем (8.10) в уравнение (8.9), находим a и получаем окончательный результат:

Задача 2. Груз закреплён на одном конце пружины жёсткости k. Другой конец пружины закреплён на вертикальной оси. В неподвижном состоянии длина пружины – l. Найти удлинение пружины при вращении системы с угловым ускорением w в горизонтальной плоскости.

Решение. Перейдя к неинерциальной системе отсчёта, вращающейся вместе с грузом (рис. 8.2), мы можем записать условие равновесия в виде F_цс = k× D l, (8.11) где F_цс = m× a_цс = m×w²×(l+Dl). (8.12)

Выражая из последнего равенства D l, получаем ответ:

Задача 3. С какой максимальной скоростью u_max может двигаться муха вдоль радиуса вращающегося диска, чтобы не поскользнуться? Частота вращения диска n = 1 об/с. Коэффициент трения m = 0,1.

Решение. Рассмотрим движение мухи в неинерциальной системе координат, вращающейся вместе с диском. На насекомое, ползущее вдоль радиуса, действуют две силы инерции: центробежная и кориолисова, направленные перпендикулярно друг другу. Муха поскользнётся в тот момент, когда равнодействующая этих сил превысит максимально возможную силу трения. Сила Кориолиса пропорциональна скорости движения, а центробежная сила пропорциональна расстоянию до оси вращения и не зависит от скорости движения мухи. Поэтому максимальная скорость движения вдоль радиуса может быть достигнута на оси диска, где центробежная сила равна нулю. В этой точке

F _тр = F _K

или иначе можно записать

m×g×m = 2×m×u_max×w.

Выражая отсюда u_max, получим