Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Пусть две плоскости p₁ и p₂ заданы общими уравнениями:

p₁: A₁x+B₁y+C₁z+D=0;

p₂: A₂x+B₂y+C₂z+D=0.

Вопрос об определении угла между указанными плоскостями сводится к определению угла j между их нормальными векторами (А₁,В₁,С₁) и (А₂,В₂,С₂).

Из определения скалярного произведения и записи его в координатной форме, получим:

.

Условие параллельности плоскостей p₁ и p₂, эквивалентное условию коллинеарности векторов (А₁,В₁,С₁) и (А₂,В₂,С₂), заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид:

.

Условие перпендикулярности плоскостей p₁ и p₂ выражается равенством нулю скалярного произведения векторов (А₁,В₁,С₁) и (А₂,В₂,С₂). Оно имеет вид:

А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0.