Параллельные проекции и их основные свойства

Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование (рисунок 1.6), когда центр проецирования (S) удален в бесконечность (S _∞) в несобственную точку. При этом проецирующие лучи становятся параллельными между собой, направление проецирования лучей относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования (s). Параллельные прямые или плоскость и параллельная ей прямая пересекается в одной бесконечно удаленной точке называемой несобственной. Поэтому две любые прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда взаимно пересекаются. Так как, две нетождественные прямые могут взаимно пересекаться только в одной точке, то на каждой прямой существует единственно несобственная точка, все остальные точки прямой – собственные. На чертеже несобственную точку проставляют с подстрочным индексом бесконечность – «¥», например S_∞. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными, в остальных случаях – косоугольными (на рис.6 направление проецирования указано стрелкой под углом α ≠ 90° к плоскости проекций Π').

Рисунок 1.6

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, и добавляются следующие новые свойства.

1 Проекции параллельных прямых параллельны между собой, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин отрезков их проекций.

Пусть отрезки прямых MN и KL(рисунок 1.7) равны и параллельны. Через данные прямые проведем проецирующие плоскости β и γ, так как MN||KL, по условию, то β||γ, а по построению АА'||СС'|| S_∞, отсюда проекции M'N' ||K'L', как линии пересечения параллельных плоскостей b и g с плоскостью П'.

Рассмотрим на прямых MN и KL произвольные отрезки AB и СD. Через точку А, принадлежащую плоскости b, проведем прямую А1 ||A'B' и через точку С, принадлежащую плоскости g. Отрезки [А1] @ [A'B'], [C2]@[C'D']. Если рассматривать, полученные треугольники 1АВ и 2CD они равны, так как их стороны AB = CD по условию, а прилегающие к ним углы также равны, как углы с соответственно параллельными сторонами: Ð1AB=Ð2CD. Отсюда следует А1=С2, так как А1=А'В' и С2=C'D', то A'B'=C'D'.

Рисунок 1.7

Из рассмотренного следует:

а) если длина отрезка прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и длина проекции отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рисунок 1.8):

|АК|:|КВ| = |А'К'|:|К'В'|;

б) проекции равных по длине отрезков взаимно параллельных прямых взаимно параллельны и равны по длине.

Это очевидно, так как (рисунок 1.7) при |АВ| |CD| = 1 будет

|А'В'| =|C'D'|. Поэтому при косоугольном проецировании в общем случае параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат проецируются в параллелограмм.

2 Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется при параллельном проецировании на эту плоскость без искажения.

Рисунок 1.8

3 Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

Параллельные проекции, как и центральные, при одном центре проецирования, так же не обеспечивают обратимости чертежа.

Применяя приёмы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела.

Рисунок 1.9

Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей. Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют прямоугольным, или ортогональным проецированием. Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. Прямоугольная проекция D' точки D показана на рисунке 1.9.