2015-10-13
1969
  Рис. 2.2. | Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком  . |
  Рис. 2.3. | Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком  . Если  , то множества  и  называются непересекающимися. |
Два множества называются непересекающимися (или расчлененными) если 
. Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются классификацией). Разбиением множества называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества , что каждый элемент множества является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.
  Рис. 2.4. | Разностью множеств  и  или дополнением до называется множество, состоящее только из тех элементов , которые не входят в . Эта операция над множествами обозначается знаком  . |
  Рис. 2.5. | Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества  . В таком случае разность  (дополнение до ) обозначают, как  , а операцию называют взятием дополнения. |
  Рис. 2.6. | Симметрической разностью множеств и называется множество  :  . Обозначается симметрическая разность:  или  . |
Для подмножеств данного множества выполняются следующие законы:
· Закон коммутативности (переместительный закон):
; 
;
· Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств , и :
;
;
· Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств 
, и :
;
;
· 
; 
;
· 
; 
;
· 
; 
;
· 
;
· 
;
· 
; 
;
· 
; 
;
· 
; 
;
· 
; 
.
Если операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел, операции пересечения множеств – операцию умножения, универсальному множеству – единицу, а пустому множеству – ноль, то возникает аналогия между множествами и числами. Операции объединения и пересечения множеств, как и действия над действительными числами, подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Можно также провести аналогию между свойствами логических операций, где логической эквивалентности соответствует операция равенства, а операциям конъюнкции и дизъюнкции – операции объединения и пересечения.
Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменой 
на , на 
и наоборот. Такие выражения называются двойственными друг другу.
Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.
Очевидно, что операция разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.
Большое значение в современной математике имеет множественная операция декартово произведение. Если заданы два множества и , то из их элементов можно составить упорядоченные пары, взяв сначала какой-либо элемент первого множества, а затем – элемент второго множества. Декартовым произведением двух исходных множеств и называется множество , составленное из упорядоченных пар (
). Декартово произведение множеств и обозначается 
.
Очевидно, что и 
‑ различные множества, т.е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.
