Вычисление статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой

Статическим моментом точки относительно оси называется произведение массы точки на расстояние до прямой.

Рассмотрим плоскую кривую, у которой плотность равна , тогда масса кривой равна ее длине, найдём статический момент кривой относительно оси .

Пусть кривая задана уравнением . Возьмем на кривой точку и вырежем из кривой элементарный участок длины , содержащий точку . Если считать массу участка, равную , сосредоточенной в точке , то элементарный момент, то есть статический момент малого элемента кривой относительно оси равен . Тогда статический момент всей кривой относительно оси , находится по формуле .

Аналогично выводится формула для вычисления статического момента кривой относительно оси : .

Определение. Центр тяжести кривой – это такая точка, что если в ней сосредоточить всю массу кривой, то ее статический момент относительно оси, не пересекающей кривую, будет равен статическому моменту всей кривой: .

Отсюда получаем формулы для нахождения координат центра тяжести однородной кривой .

В случае если кривая задана явно уравнением , координаты центра тяжести кривой находятся по формулам

Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно её диаметра.

Расположим полуокружность так, чтобы её диаметр находился на оси , а центр в начале координат.

Уравнение верхней полуокружности . Найдем значение подкоренного выражения в формуле для вычисления статистического момента . Подставляя в формулу, получаем ответ .