Основная теорема статики

Для произвольной системы сил введем два определения.

Главным вектором системы сил называют величину, равную сумме всех сил системы,

(3.1)

Главным моментом системы сил относительно некоторого центра О называют величину, равную сумме моментов всех сил системы относительно центра,

. (3.2)

Основная теорема статики (теорема Пуансо). Произвольная пространственная система сил эквивалентна силе, равной главному вектору системы и приложенной в некоторой точке (центре приведения), и паре сил, момент которой равен главному моменту системы относительно выбранного центра приведения.

Доказательство

Рассмотрим систему сил , показанную на рис. 3.2. Используем доказанную лемму и перенесем все силы в центр приведения O, добавляя соответствующие пары сил.

В результате получим:

– систему сходящихся сил ,

где ;

– систему пар сил, моменты которых ,

где .

Систему сходящихся сил заменим ее равнодействующей

,

равной главному вектору исходной системы, а систему пар сил – одной парой, момент которой

равен главному моменту исходной системы относительно центра O.

Теорема доказана.

Следствие. Две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые главные векторы и одинаковые главные моменты относительно одного и того же центра.

Рис. 3.3.

Итак, простейшая система сил, к которой в общем случае приводится произвольная система, состоит из одной силы и одной пары сил. Выясним влияние центра приведения на простейшую систему. Выберем новый центр приведения (рис. 3.3). Сила не зависит от выбора центра приведения и равна сумме всех сил системы, т.е.

.

Определим главный момент системы относительно нового центра

где .

Таким образом,

, (3.3)

т.е. при изменении центра приведения главный момент изменяется на величину момента силы, равной главному вектору и приложенной в первоначальном центре приведения, относительно нового центра приведения.

Предположим, что для некоторого центра O: и . Тогда вследствие формулы (3.3) для любого центра : и .