Следствия из интегральной формулы Лапласа

1. Вероятность того, что частность (доля, относительная частота) , наступления события А в n испытаниях заключена в границах от α до β:

, , ,

2. Вероятность того, что частность (доля, относительная частота) , наступления события А в n испытаниях отлична от вероятности наступления этого события по абсолютной величине не более чем на ε:

3. Вероятность того, что число раз наступления события А в n испытаниях отлична от среднего числа наступления события А не более, чем на ε:

Пример.

Вероятность наступления события А в каждом из 900 независимых испытаний равна р = 0,8. Найдите вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) 710 раз; в) от 710 до 740 раз.

Решение:

Так как npq = 900 × 0,8 × 0,2 = 14,4 > 10, то в пунктах а) и б) воспользуемся формулой (1), а в пункте в) – формулой (2).

а) ; j(2,5)» 0,0175;

Р₉₀₀ (750)» ;

б) ; j (- 0,83) = j (0,83)» 0,2827;

Р₉₀₀ (710)» ;

в) ; ;

Ф(-0,83) = - Ф(0,83)» - 0,2967; Ф(1,67)» 0,4527;

Р₉₀₀ (710 £ k £ 740)» 0,4525 + 0,2967 = 0,7492.

Пример.

Вероятность того, что электролампочка, изготовленная данным заводом, является бракованной, равна 0,02. Для контроля отобрано наудачу 1000 лампочек. Оцените вероятность того, что частота бракованных лампочек в выборке отличается от вероятности 0,02 менее чем на 0,01.

Решение.

Пусть k – число бракованных лампочек в выборке. Нам нужно оценить вероятность выполнения неравенства

.

Оно равносильно неравенству 11 £ k £ 29. Следовательно

.

Так как npq = 1000 × 0,02 × 0,98 = 19,6 > 10, то для вычисления вероятности Р₁₀₀₀ (11 £ k £ 29) воспользуемся интегральной приближенной формулой Лапласа. В данноь случае

; ;

Ф(- 2,03)» - 0, 4788; Ф(2,03)» 0,4788.

Следовательно, по формуле (2) имеем:

Р₁₀₀₀ (11 £ k £ 29)» 0,4788 + 0,4788 = 0,9576.

Пример.

Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию равна 0,01. Найдите вероятности следующих событий: а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию; б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию; в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

Решение.

Так как р = 0,01 мало и n = 400 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при l = 400 × 0,01 = 4.

а) Р₄₀₀ (5)» » 0,156293; (см. таблицу 4 приложения).

б) Р₄₀₀ (0 £ k £ 4)» 0,018316 + 0,073263 + 0,146525 + 0,195367 + 0,195367 = =0,628838;

в) Р₄₀₀ (3 £ k £ 400) = 1 - Р₄₀₀ (0 £ k £ 4) = 1 – 0,018316 – 0,073263 – 0,146525 = = 0,761896.