2015-10-22
2159
Предположим, нам нужна вероятность получить десять успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события по формуле Бернулли будет равна:
,
и вычисление здесь весьма проблематично.
Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означает, что 
. При этом 
и вероятность успеха не меняется внутри одной серии испытаний. Обозначим через 
–число успехов в 
- ной серии испытаний.
Теорема Пуассона. Пусть , так, что 
. Тогда для любого числа 
вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха 
стремится к величине 
.
– формула Пуассона.
Пользуясь теоремой Пуассона, можно приближенно посчитать вероятность получить десять успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку 
«велико», а = 0,003 «мало», то, взяв 
, можно написать приближенное равенство:
|
|
|
.
Замечание. Для закона Пуассона наиболее вероятное число успехов равно 
.
Пример. Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4-х бутылок.
Решение. Событие 
={в пути будет разбито не более 4-х бутылок}.
Искомая вероятность представляет собой сумму вероятностей:
, то есть вероятностей того, что будет разбита одна бутылка, две бутылки, три бутылки, четыре бутылки и т.д.
Так как 
, 
, 
, то вероятность события 
найдем, используя формулу Пуассона:
и т.д.
.
