Графіки монотонних функцій

спадна

зростаюча

більшому аргументу відповідає більшому аргументу відповідає
більше значення функції . менше значення функції .

незростаюча

y

неспадна

y

Озн. Функція , визначена на множині Х, називається обмеженою знизу, якщо існує таке фіксоване число , що для всіх виконується нерівність .

Озн. Функція , визначена на множині Х, називається обмеженою зверху, якщо існує таке фіксоване число , що для всіх виконується нерівність .

Озн. Функція , визначена на множині Х, називається обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу одночасно, тобто виконується умова .

Геометрично поняття обмеженості зверху (знизу) функції на множині X означає, що графік даної функції на цій множині розміщений не вище (не нижче) деякої горизонтальної прямої. Обмеженість функції означає, що її графік міститься між деякими горизонтальними прямими та .

Наприклад:

.

Функції, які не задовольняють вказаним умовам, називаються необмеженими. Наприклад: , , .

Вправи:

1. Знайти область визначення функцій:

1)

Знаменник не може дорівнювати нулю

; .

Відповідь: .

2)

Підкореневий вираз не повинен бути менший від нуля

; ;

Відповідь: .

3)

;

а) ;

б) ;

Відповідь:

4)

; ; ;

; ;

;

Відповідь: .

5)

; ; .

Відповідь: .

6)

; ; ; .

Розв’язків квадратичної нерівності на множині дійсних чисел не існує, тобто знаменник не приймає значення нуль ні при якому дійсному значенні х.

Відповідь: .

7)

; ; і ;

Відповідь: .

8)

Відповідь: .

9)

; ; ; ;

Відповідь: .

2. Побудувати графіки функцій:

1)

Графік даної функції дістанемо з графіка функції паралельним перенесенням його вздовж осі Ох на дві одиниці ліворуч. Графіком функції є гіпербола, гілки якої розташовані в І та ІІІ координатних чвертях.

2)

Графік даної функції дістанемо трьома перетвореннями з графіка функції - кубічної параболи:

а) графік функції дістанемо симетричним відображенням відносно осі Ох частини кубічної параболи, яка знаходиться нижче від осі Ох (для ), а частина графіка для всіх значень залишається без зміни;

б) розтягнемо вздовж осі Ох у 2 рази графік функції ;

в) паралельно перенесемо вздовж осі Оу на 4 одиниці.

3)

Виділяємо повний квадрат із правої частини рівняння:

Графік цієї функції дістанемо з графіка функції за допомогою двох перетворень:

а) функцію дістанемо паралельним перенесенням графіка функцій вздовж осі Ох на 2,5 одиниці ліворуч;

б) графік функції дістанемо паралельним перенесенням графіка функції вздовж осі Оу на 0,25 одиниці вниз.

Графік функції можна дістати із графіка функцій симетричним відображенням відносно осі Ох тієї частини графіка, яка знаходиться нижче від осі Ох та зображує від’ємні значення функції.

4) .

Графік даної функції дістанемо з графіка функції :

а) - симетричне відображення графіка функції відносно осі Оу;

б) симетричне відображення графіка функції відносно осі Ох;

в) - паралельне перенесення графіка функції вздовж осі Оу на 2 одиниці вгору.

5)

Графік даної функції дістанемо з графіка функції :

а) паралельне перенесення вздовж осі Ох на 0,5 одиниці праворуч;

б) симетричне відображення відносно осі Оу тієї частини графіка, яка знаходиться праворуч від осі Оу (на );

в) паралельне перенесення уздовж осі Оу на одну одиницю вгору.