2015-10-22
331
Рассмотрим функцию двух переменных 
, определенную в некоторой области 
, являющейся частью плоскости 
Частной производной от функции 
по независимой переменной х называется производная
вычисленная при постоянном у.
Частной производной по у называется производная
вычисленная при постоянном х.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
При изменении 
и 
частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:
Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке 
, тогда 
, то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.
Градиентом функции в точке 
называется вектор, составленный из частных производных:
Этот вектор указывает в точке М0 направление наискорейшего роста функции .
Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором 
, производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:
где знак модуля означает длину вектора градиента в точке 
, а 
─ угол между градиентом и направлением .
Пример. Найти градиент функции 
в точке 
.
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х.
.
Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получаем:
.
Находим значения частных производных в точке :
,
Таким образом, 
Контрольные задания
Найти
 |  | ||
градиент функции Z в точке М.
4.1 
.
4.2 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7 
4.8 
4.9 
4.10 
4.11 
4.12 
4.13 
4.14 
4.15 
4.16 
4.17 
4.18 
4.19 
 | |  | |
4.20
| |
