Основные теоремы о непрерывных функциях

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если:

1)функция определена в этой точке;

2)в некоторой окрестности точки существует предел функции в точке , который совпадает со значением функции в этой точке.

Т.е.

При невыполнении одного из этих условий функция терпит разрыв в точке .

Классификация точек разрыва.

Точка называется точкой разрыва I рода функции f(x), если в этой точке существуют конечные пределы справа и слева в точке , не равные друг другу.

Точка называется точкой разрыва II рода функции f(x), если в этой точке правый или левый пределы не существуют или являются бесконечными.

Пример.

Найдите точки разрыва функции f(x) и выясните характер этих точек.

а)

Функция определена на всей числовой прямой. Найдем односторонние пределы в точке =1

,

Односторонние пределы существуют, конечны, но не равны друг другу, следовательно =1 – точка разрыва I рода.