Лабораторная работа № 7

Вычисление пределов функций.
Первый и второй замечательные пределы

1. Цель работы

Приобретение умений вычислять пределы функций, имеющие неопределенности вида , , (¥ – ¥), включая первый и второй замечательные пределы, в том числе и средствами программы MathCAD.

2. Содержание работы

1) Вычислите пределы функций (табл. 1). Решение оформите в тетради.

2) Вычислите пределы функций (табл. 2), используя первый и второй замечательные пределы. Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

3) Используя программу MathCAD, вычислите пределы функций (табл. 3). Выполненное задание отчитайте преподавателю.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Постоянное число a называется пределом переменной x, если для любого сколь угодно малого числа d>0 можно указать такое значение х, что все последующие значения будут удовлетворять неравенству | x – a | < d. Обозначение: lim x = a или x ® a. (1)

Неравенство | x – a | < d перепишем в виде –d < x – a < d или a – d < x < a + d. Интервал (a – d; a + d) называется окрестностью точки x = a радиуса d.

Постоянное число l называется пределом функции y = f (x) при x ® a, если для всех значений х, достаточно близких к а, значение f (x) сколь угодно мало отличается от l. Обозначение: или . (2)

Определение включает случаи, когда числа а и l будут заменены символами «¥», «–¥», «+¥».

В определении не требуется, чтобы функция y = f (x) была определена в самой точке x = a.

Если существует предел (2) и x < a, то его называют пределом слева и обозначают . (3) Аналогично, если существует предел (2) и x > a, то его называют пределом справа и обозначают . (4)

Пределы (3) и (4) называются односторонними пределами.

Если a = 0, то вместо x ® 0–0 и x ® 0+0 пишут соответственно x ® –0 и x ® +0.

Связь односторонних пределов с пределом (2) выражается следующей теоремой: для того, чтобы существовал предел (2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось f (a –0) = f (a +0).

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x = х ₀, кроме, быть может, самой точки х ₀. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при x ® х ₀, если и называется бесконечно большой при x ® х ₀, если .

Здесь и в дальнейшем под символом х ₀ подразумевается либо точка а либо ¥. Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно большие функции в случае односторонних пределов.

Если a(x) – бесконечно малая функция при x ® х ₀ и a(x) ¹ 0 при x ¹ х ₀, то обратная величина есть бесконечно большая функция при x ® х ₀. И наоборот, если a(x) – бесконечно большая, то – бесконечно малая функция.

При решении задач удобно пользоваться следующей символической записью. Пусть число a > 0, тогда , , , , , .

Основные теоремы и следствия о пределах функций.

1. , где C – const.

2. .

3. .

4. .

5. , где C – const.

6. , где n – натуральное число.

7. , где P_n (x), Q_m (x) – многочлены степени n и m соответственно и Q_m (x ₀)¹0.

Пример 1. Вычислите .

Решение. Найдем значение функции , стоящей в числителе, в точке х ₀ = –1: . Найдем значение функции , стоящей в знаменателе, в точке х ₀ = –1: . Так как полученные значения конечны и отличны от нуля, то предел согласно утверждению 7 равен значению частного в предельной точке, т. е. .

Ответ: 1,5.

8. Если существуют предел и функция , где n – натуральное число, то .

9. Если существуют пределы и , то .

10. Пусть находится предел сложной функции y = f (j(x)) при x ® x ₀. Тогда если существует и существует , то справедлива формула – правило замены переменной при нахождении предела сложной функции.

11. Если и , то утверждение 4 применить нельзя и частное при x ® x ₀ называется неопределенностью вида .

Пример 2. Вычислите .

Решение. Подставим предельное значение х ₀ = 3 в числитель и знаменатель дроби. Так как числитель и знаменатель оба равны нулю, то заданное отношение в точке является неопределенностью вида .

Для нахождения предела в этом случае:

1) Найдем корни уравнений 2 x ² – 5 x – 3 = 0 и 3 x ² – 4 x – 15 = 0.

ax ² + bx + c = 0 D = b ² – 4 ac,

2) Разложим квадратные трехчлены на линейные множители.

,	ax ² + bx + c = a (x – x ₁)(x – x ₂)

3) Сократим дробь на общий множитель и найдем предел оставшегося выражения по утверждению 7:

Ответ: 0,5.

Пример 3. Вычислите .

Решение. Значение числителя и знаменателя в точке х ₀ = 2 равно нулю, следовательно, опять имеем неопределенность вида .

Для нахождения предела в этом случае:

1) В числителе и в знаменателе выделим множитель х – 2, создающий неопределенность. С этой целью умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное знаменателю и используем формулу сокращенного умножения (a – b)(a + b) = a ² – b ²:

2) Сократим дробь на множитель х – 2, получим:

3) Вычисляя предел при х ₀ = 2, окончательно получим: .

Ответ: .

12. Если и , то утверждение 4 применить нельзя и частное называется неопределенностью вида .

Пример 4. Вычислите:

а) , б) , в) .

Решение. а) При х ® ¥ числитель и знаменатель стремятся к ¥, т. е. заданное отношение является неопределенностью вида .

Для нахождения предела в этом случае:

1) В числителе и знаменателе вынесем за скобки старшую степень переменной х всей дроби (это х ³):

и .

После сокращения дроби на х ³ применим утверждения 4, 2, 1, а также равенство и получим:

б) При х ® ¥ заданное отношение так же является неопределенностью вида . Повторим рассуждения, проделанные в пункте а). Выносим за скобки в числителе и знаменателе старшую степень переменной х всей дроби (это х ²), сокращаем дробь на х ² и получаем:

в) Проводим аналогичные рассуждения:

Ответ: а) 0,5, б) ∞, в) 0.

13. Если и , то утверждение 2 применить нельзя и разность f ₁(x) – f ₂(x) называется неопределенностью вида (¥ – ¥) при x ® x ₀

Пример 5. Вычислите .

Решение. Подстановкой предельного значения х ₀ = 2 в выражение, стоящее под знаком предела, убеждаемся, что существует неопределенность вида (¥ – ¥).

Для нахождения предела в этом случае нужно разность записать в виде дроби, приведя к общему знаменателю, и упростить.

Ответ: 0,25.

Пример 6. Вычислите .

Решение. Опять имеем неопределенность вида (¥ – ¥).

Для вычисления предела снова нужно разность записать в виде дроби. С этой целью умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к числителю и используем формулу сокращенного умножения (a – b)(a + b)= a ² – b ².

Теперь мы получили неопределенность вида и нужно поступить аналогично примеру 4:

Ответ: –2,5.

14. Если и , то утверждением 3 пользоваться нельзя и произведение f ₁(x)× f ₂(x) при x ® x ₀ называется неопределенностью вида (0×¥).

Нахождение пределов для случаев 11-14 называется раскрытием неопределенности указанного вида.

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла, выраженного в радианах, равен единице, т. е. и называется первым замечательным пределом. Он используется для раскрытия неопределенностей вида и (0×¥), содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Пример 7. Вычислите .

Решение. Заданное отношение в точке х ₀ = 0 представляет неопределенность вида . Вычислим этот предел, используя формулу первого замечательного предела, формулы тригонометрии и утверждения 3, 5, 10. С этой целью преобразуем выражение под знаком предела следующим образом:

.

Ответ: 0,5.

Пример 8. Вычислите .

Решение. Выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой неопределенность вида (0×¥) в точке х ₀ = 0. Для решения воспользуемся формулой первого замечательного предела, формулами тригонометрии и утверждениями 3, 5, 10, 4 и 1. Преобразуем выражение под знаком предела следующим образом:

.

Ответ: .

Второй замечательный предел

Вторым замечательным пределом называется предел вида . Он служит для раскрытия неопределенности вида (1^¥).

Число е является бесконечной, непериодической дробью, приближенное значение которого равно е»2,718281828459045…»2,72.

С помощью замены переменной по формулам , , t ® 0 при х ® ¥ второй замечательный предел можно представить в виде .

Пример 9. Вычислите .

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом, свойствами степеней и утверждениями 9, 10. С этой целью преобразуем выражение под знаком предела следующим образом:

Указание:

Ответ: .

Пример 10. Вычислите предел .

Решение. Воспользуемся следствием из формулы второго замечательного предела , а также свойствами степеней и правилами 6, 10:

Ответ: е ⁵.

***

Настройка окон программы MathCAD для вычисления пределов функций:

· На главной панели инструментов Math нажмите на кнопки и (если главной панели инструментов на экране нет, то V iew ® Toolbars ® M ath). Первая кнопка открывает панель Calculator, а вторая – панель Calculus.

Для вычисления предела функции:

· Выберите нужную кнопку , или на панели Calculus. Первая кнопка используется для вычисления двустороннего предела, вторая – для предела справа, третья – для предела слева.