Кривые второго порядка

1. Цель работы

Приобретение умений построения кривых второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат и составления их канонических уравнений.

2. Содержание работы

1) По виду уравнений (табл. 1) определите тип заданных кривых. Решение оформите в тетради.

2) Приведите уравнения кривых второго порядка (табл. 2) к каноническому виду и постройте их. Решение оформите в тетради.

3) Приведите уравнения кривых второго порядка (табл. 3) к каноническому виду и постройте их. Решение оформите в тетради.

4) Составьте каноническое уравнение: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (табл. 4). Решение оформите в тетради и сдайте на проверку.

3. Общие сведения и примеры выполнения заданий

Уравнение второй степени с двумя неизвестными x и y вида

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, (1)

где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля в декартовой прямоугольной системе координат может задавать: окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару совпадающих прямых, точку или пустое множество. Первые четыре линии называются кривыми второго порядка.

Если уравнение (1) не содержит произведение ху и имеет вид:

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0, (2)

то в зависимости от значений коэффициентов А и С по виду уравнения легко определить тип кривой:

а) если А×С > 0, то уравнение (2) задает линию эллиптического типа (эллипс, окружность, точку или пустое множество);

б) если А×С < 0, то уравнение (2) задает линию гиперболического типа (гиперболу или пару пересекающиеся прямые);

в) если А×С = 0, то уравнение (2) задает линию параболического типа (параболу, пару параллельных прямых, пару совпадающих прямые или пустое множество).

Пример 1. По виду уравнений определите тип заданных кривых:

а) х² + 5у² – 3х – 7у – 7 = 0, б) 2х² – 3у² + 4х – 5 = 0, в) 3у² – 2х + 6у = 0.

Решение. а) В уравнении А = 1, С = 5, следовательно, А×С > 0 и оно определяет линию эллиптического типа.

б) Из уравнения А = 2, С = –3, т.е. А×С < 0, а значит, это уравнение линии гиперболического типа.

в) В уравнении А = 0 и С = 3, т.е. А×С = 0. Заключаем, что дано уравнение параболического типа.

Вид кривой второго порядка не зависит от системы координат, поэтому для каждой кривой может быть выбрана такая система координат, в которой ее уравнение примет наиболее простой вид, называемый каноническим (простейшим).

Кривые второго порядка.

1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки C(a; b) (центр окружности) на расстояние R (радиус окружности) (рис. 1). Каноническое уравнение:

(x – a)² + (y – b)² = R². (3)

Рис. 1. Окружность (x – a)² + (y – b)² = R²

В частном случае, а) если a = 0 (рис. 2, а), то каноническое уравнение окружности имеет вид:

x² + (y – b)² = R²; (4)

б) если b = 0 (рис. 2, б), то каноническое уравнение имеет вид:

(x – a)² + y² = R²; (5)

в) если a = b = 0 (рис. 2, в), то каноническое уравнение имеет вид:

x² + y² = R². (6)

а) x² + (y – b)² = R² б) (x – a)² + y² = R² в) x² + y² = R²

Рис. 2. Окружности

Пример 2. Определите тип линии x² + y² – 4x + 8y – 16 = 0 и постройте ее.

Решение. Сгруппируем все члены с х и отдельно с у:

(х² – 4х) + (у² + 8у) – 16 = 0.

Используя формулы (а ± b)² = a² ± 2ab + b², выделим в первой скобке квадрат разности, а во второй – квадрат суммы и преобразуем:

(х² – 2×2х + 2² – 4) + (у² + 2×4у + 4² – 16) – 16 = 0,

(х – 2)² – 4 + (у + 4)² – 16 – 16 = 0,

(х – 2)² + (у + 4)² – 36 = 0,

(х – 2)² + (у + 4)² = 36.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением вида (3) заключаем, что мы получили каноническое уравнение окружности с центром в точке С(2; –4) и радиусом R = 6. Строим линию (рис. 3).

Рис. 3

2. Пусть даны две точки F₁ и F₂, называемые фокусами, расстояние между которыми |F₁F₂| = 2c.

Эллипс – это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а > 2c.

Если фокусы взять в точках F₁(–c; 0) и F₂(c; 0), лежащих на оси Ох симметрично начала координат, то эллипс имеет вид как на рис. 4 и его каноническое уравнение есть:

, (7)

где

a > b, b² = a² – c². (8)

Рис. 4. Эллипс

Точки А₁(–а; 0), А₂(а; 0), В₁(0; –b), B₂(0; b) называются вершинами эллипса, О(0; 0) – центр, отрезок |А₁А₂| = 2а называется большой осью, |B₁B₂| = 2b – малая ось, отрезки |А₁O| = |OA₂| =а называются большими полуосями, |B₁О| = |OB₂| = b – малые полуоси, отрезок |F₁F₂| = 2c называется межфокусным расстоянием, число – эксцентриситет эллипса, где 0 < e < 1 (определяет степень сжатия эллипса к оси Ох), числа r₁ = a + ex, r₂ = a – ex – фокальные радиусы точки М(x; y).

Более общим случаем эллипса (7) является эллипс (рис. 5) с центром в точке C(х₀; у₀), каноническое уравнение которого имеет вид:

(9)

Рис. 5. Эллипс

Пример 3. Определите тип линии и постройте ее:

а) 3х² + 4у² = 12; б) 4х² + 9у² – 16х + 72у + 124 = 0.

Решение. а) Приведем уравнение 3х² + 4у² = 12 к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на свободный член и преобразуем

3х² + 4у² = 12 ® ® ® .

По уравнению (7) устанавливаем, что дан эллипс (рис. 6, а). Осями симметрии эллипса служат оси координат, центр эллипса – точка О(0; 0), большая полуось а = 2, малая полуось , вершины эллипса – точки А₁(–2; 0), А₂(2; 0), , .

б) Сгруппируем все члены с х и отдельно с у:

(4х² – 16х) + (9у² + 72у) + 124 = 0

и вынесем за скобки коэффициенты при х² и у²:

4(х² – 4х) + 9(у² + 8у) + 124 = 0.

Используя формулы (а ± b)² = a² ± 2ab + b², выделим в скобках квадрат разности и квадрат суммы соответственно и преобразуем

4(х² – 2×2х + 2² – 4) + 9(у² + 2×4у + 4² – 16) + 124 = 0,

4((х – 2)² – 4) + 9((у + 4)² – 16) + 124 = 0,

4(х – 2)² – 16 + 9(у + 4)² – 144 + 124 = 0,

4(х – 2)² + 9(у + 4)² – 36 = 0,

4(х – 2)² + 9(у + 4)² = 36.

Делим обе части на свободный член в правой части:

® ® .

Согласно формулы (9) получаем каноническое уравнение эллипса (рис. 6, б) с центром в точке С(2; –4), оси симметрии – прямые х = 2 и у = –4, большая полуось а = 3 и малая полуось b = 2, вершины эллипса находятся в точках А₁(–1; –4), А₂(5; –4), В₁(2; –6), В₂(2; –2).

а) б)

Рис. 6

Если фокусы располагать в точках F₁(0; –c) и F₂(0; c), лежащих на оси Оу симметрично начала координат или на прямой, параллельной этой оси, то соответствующие эллипсы будут задаваться так же формулами (7) и (9) и иметь вид как на рис. 7.

а) б)

Рис. 7. Эллипсы (7) и (9) соответственно

В этом случае a < b, a² = b² – c², отрезок |B₁B₂| = 2b называется большой осью, |А₁А₂| = 2а – малая ось, – эксцентриситет эллипса, где 0 < e < 1 (определяет степень сжатия эллипса к оси Оy), числа r₁ = b + ey, r₂ = b – ey – фокальные радиусы точки М(x; y).

3. Пусть даны две точки F₁ и F₂, называемые фокусами, расстояние между которыми |F₁F₂| = 2c.

Гипербола – это геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная ±2а, где 2а < 2c.

Если фокусы взять в точках F₁(–c; 0) и F₂(c; 0), лежащих на оси Ох симметрично начала координат, то гипербола имеет вид как на рис. 8 и ее каноническое уравнение есть:

, (10)

где

b² = с² – а². (11)

Точки А₁(–а; 0), А₂(а; 0) называются вершинами гиперболы, О(0; 0) – центр, отрезок |А₁А₂| = 2а называется действительной осью, |B₁B₂| = 2b – мнимая ось, отрезки |А₁O| = |OA₂| =а называются действительными полуосями, |B₁О| = |OB₂| = b – мнимые полуоси, прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы, отрезок |F₁F₂| = 2c называется межфокусным расстоянием, число – эксцентриситет гиперболы, где e > 1 (определяет степень сжатия ветвей гиперболы к оси Ох), прямые – асимптоты гиперболы, для точек правой ветви гиперболы фокальные радиусы имеют вид r₁ = a + ex и r₂ = –a + ex, а для точек левой ветви – это r₁ = –a – ex и r₂ = a – ex.

Рис. 8. Гипербола

Если полуоси гиперболы (10) равны (a = b), то она называется равносторонней (рис. 9) и задается каноническим уравнением:

или x² – y² = a². (12)

Рис. 9. Гипербола x² – y² = a

Эксцентриситет равносторонней гиперболы , ее асимптоты имеют уравнения y = ±x.

Более общим случаем гипербол вида (10) и (12) являются гиперболы (рис. 10) с центром в точке C(х₀; у₀), канонические уравнения которых имеет вид:

(13)

и

или (x – x₀)² – (y – y₀)² = a². (14)

а)

б)

Рис. 10. Гиперболы (13)–(14) соответственно

Пример 4. Определите тип линии и постройте ее:

а) 9х² – 4у² = 36; б) 4х² – 9у² – 8х + 36у – 68 = 0.

Решение. а) Приведем уравнение 9х² – 4у² = 36 к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на свободный член и преобразуем

9х² – 4у² = 36 ® ® ® .

Сравнивая полученное уравнением с формулой (10) делаем вывод, что дана гипербола. Оси симметрии гиперболы – оси координат, центр гиперболы – О(0; 0), действительная полуось а = 2, мнимая полуось b = 3, вершины находятся в точках А₁(–2; 0) и А₂(2; 0). Построение гиперболы начинаем с основного прямоугольника со сторонами 2а = 4 и 2b = 6, симметричного относительно начала координат и осей координат. Проводим диагонали прямоугольника и продолжаем их неограниченно в обе стороны. Они являются асимптотами гиперболы и имеют уравнения , т.е. и . Затем строим гиперболу, которая пересекает ось Ox в своих вершинах и при удалении в бесконечность гипербола неограниченно приближается к асимптотам (рис. 11, а).

б) Выполним действия, аналогичные примеру 3, пункт б):

(4х² – 8х) – (9у² – 36у) – 68 = 0,

4(х² – 2х) – 9(у² – 4у) – 68 = 0,

4(х² – 2х + 1 – 1) – 9(у² –4у + 4 – 4) – 68 = 0,

4((х – 1)² – 1) – 9((у – 2)² – 4) – 68 = 0,

4(х – 1)² – 4 – 9(у – 2)² + 36 – 68 = 0,

4(х – 1)² – 9(у – 2)² – 36 = 0,

4(х – 1)² – 9(у – 2)² = 36,

® ® .

Согласно формулы (13) получаем каноническое уравнение гиперболы с центром в точке С(1; 2), оси симметрии гиперболы – прямые х = 1 и у = 2, действительная полуось а = 3, мнимая полуось b = 2, вершины гиперболы находятся в точках А₁(–2; 2), А₂(4; 2). Основной прямоугольник имеет стороны 2а = 6 и 2b = 4, расположен симметрично относительно центра гиперболы и осей симметрии. Уравнения асимптот как прямых, проходящих через две заданные точки, можно получить, зная центр гиперболы и найдя координаты соответствующей вершины основного прямоугольника (рис. 11, б).

а) б)

Рис. 11

Если фокусы поместить в точки F₁(0; –c) и F₂(0; c), лежащие на оси Оу симметрично начала координат или на прямой, параллельной этой оси, то будут получаться гиперболы, аналогичные гиперболам (10), (12)-(14), имеющие вид как на рис. 12 и задаваться соответственно уравнениями:

, (15)

или у² – х² = b², (16)

, (17)

или (y – y₀)² – (x – x₀)² = b². (18)

а) в)

б) г)

Рис. 12. Гиперболы (15)-(18) соответственно

В этом случае точки B₁ и B₂ называются вершинами гиперболы, отрезок |B₁B₂| = 2b называется действительной осью, |А₁А₂| = 2а – мнимая ось, отрезки |B₁О| = |OB₂| = b называются действительными полуосями, |А₁O| = |OA₂| =а – мнимые полуоси, число – эксцентриситет гиперболы, где e > 1 (определяет степень сжатия ветвей гиперболы к оси Оy).

4. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки F, называемой фокусом и от прямой d, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается p, p > 0.

Если фокус взять и директрису , то получим параболу (рис. 13, а), каноническое уравнение которой имеет вид:

y² = 2px. (19)

Точка О(0; 0) называется вершиной параболы, ось Ох – осью симметрии параболы.

Если фокус и директрису выбирать тремя другими способами, то аналогично параболе (19) будем получать еще три параболы (рис. 13, б-г), канонические уравнения которых соответственно имеют вид:

y² = –2px, (20)

х² = 2pу, (21)

х² = –2pу. (22)

а) б)

в) г)

Рис. 13. Параболы (19)-(22) соответственно

Более общим случаем парабол (19)-(22) являются параболы (рис. 14) с центром в точке C(х₀; у₀), канонические уравнения которых соответственно имеет вид:

(y – у₀)² = 2p(x – х₀), (23)

(y – у₀)² = –2p(x – х₀), (24)

(х – х₀)² = 2p(у – у₀), (25)

(х – х₀)² = –2p(у – у₀). (26)

а) б)

в) г)

Рис. 14. Параболы (23)-(26) соответственно

Пример 5. Определите тип линии и постройте ее:

а) ; б) у² + 4у – х + 5 = 0.

Решение. а) Сравнивая исходное уравнение

®

с уравнением (22), делаем вывод, что задано каноническое уравнение параболы , где . Ось симметрии параболы – ось Oy, вершина – начало координат, ее ветви направлены вниз. Фокус параболы находится в точке , т. е. , а ее директриса имеет уравнение , т. е. . Строим график (рис. 15, а).

б) Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полный квадрат

(у² + 4у) – х + 5 = 0,

(у² + 2×2у + 2² – 4) – х + 5 = 0,

(у + 2)² – 4 – х + 5 = 0,

(у + 2)² – х + 1 = 0,

(у + 2)² = х – 1 ® .

Согласно формулы (23) получили параболу (рис. 15, б), вершина которой находится в точке С(1; –2), параметр , ось симметрии – прямая у = –2, ветви направлены вправо, фокус находится в точке , т. е. , а директриса задается уравнением , т. е. .

а) б)

Рис. 15

Пример 6. Составьте каноническое уравнение: а) эллипса, если левый фокус F₁(–7; 0) и эксцентриситет ; б) гиперболы, если эксцентриситет e = 2 и точка М( ; ) лежит на гиперболе; в) параболы, имеющей директрису х = –12.

Решение. а) По условию c = 7 и , следовательно, a = 25. Найдем b² = a² – c² = 625 – 49 = 576. Искомое уравнение эллипса .

б) Так как точка М( ; ) принадлежит гиперболе , то имеем или 3b² – 2a² = a²b² (*). С другой стороны , следовательно, , откуда или . Подставляя это значение b в уравнение (*), получим, что , тогда находим . Искомое уравнение гиперболы .

в) Каноническое уравнение параболы в данном случае должно иметь вид у² = 2рх, ее фокус – в точке , а уравнение директрисы задается уравнением . По условию задачи уравнение директрисы х = –12, откуда находим , р = 24 и искомое уравнение параболы есть у² = 48х.

4. Индивидуальные задания

Таблица 1

№ вар.	Задание	№ вар.	Задание
	4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0 x2 – 9y2 + 2x + 36y – 44 = 0 2x2 – 4x + 2y – 3 = 0		9x2 + 4y2 – 18x – 8y – 23 = 0 3x2 – 2y2 – 6x + 4y – 5 = 0 54x2 + 8х – y + 7 = 0
	36x2 + 36y2 – 36x – 24y – 23 = 0 4x2 – 9y2 + 6y – 1 = 0 x2 – 2x + 2y – 3 = 0		4x2 + 9y2 + 16x + 18y – 11 = 0 3x2 – 2y2 + 6x + 4y – 5 = 0 у + 3х2 – 6х + 5 = 0
	16x2 + 25y2 – 32x + 50y – 359 = 0 x2 – y2 – 6x + 8 = 0 x2 – 4x – y – 3 = 0		y2 + 2x2 + 4x + 2y + 1 = 0 2x2 – 2y2 + 4x – 4y – 2 = 0 x – y2 – 3y – 4 = 0
	x2 + 4y2 – 8y – 5 = 0 4x2 – 9y2 – 8x + 36y – 68 = 0 x2 + 2x + y + 3 = 0		2x2 + 2y2 + 4x + 4y + 2 = 0 3x2 + 6x – 2y2 – 4y – 5 = 0 х – 5у2 + 10у – 6 = 0

Продолжение табл. 1

№ вар.	Задание	№ вар.	Задание
	x2 + 9y2 + 2x + 36y + 1 = 0 36x2 – 36y2 – 72x – 72y – 1 = 0 4x2 – 2x – y + 2 = 0		3x2 + 2y2 + 6x + 4y – 1 = 0 x2 – 2y2 + 2x – 4y – 5 = 0 х + 2у2 – 8у + 3 = 0
	9x2 + 4y2 – 36x + 24y – 36 = 0 x2 – 4y2 – 8y – 5 = 0 x + 2y2 – 4y + 3 = 0		x2 + 2y2 + 2x + 4y – 1 = 0 2x2 – y2 + 4x – 2y – 1 = 0 х2 – 2х – 2у + 1 = 0
	x2 + y2 + 6x – 1 = 0 4x2 – y2 – 8x + 4y – 1 = 0 2x + y2 – 2y + 1 = 0		9x2 + 4y2 – 54x – 32y + 109 = 0 9x2 – 4y2 + 18x + 18y – 31 = 0 х2 – 5х – у + 7 = 0
	x2 + y2 – 6x – 10 = 0 x2 – 4y2 + 8y – 5 = 0 3x + y2 – 2y + 3 = 0		9x2 + 4y2 – 36x + 24y + 36 = 0 4x2 – 9y2 – 8x = 32 у2 + 2х + 6у – 1 = 0
	4x2 + 9y2 – 8x – 36y + 4 = 0 16x2 – 25y2 – 32x + 50y – 409 = 0 x + 2y2 – 6y + 4 = 0		4x2 + 25y2 – 8x + 96 = 0 4x2 – 9y2 + 16x + 54y – 101 = 0 у2 + 6у + 2х + 19 = 0
	4x2 + 4y2 + 6x + 4 = 0 9x2 – y2 + 36x + 2y – 1 = 0 2x + 2y2 + 4y + 1 = 0		2x2 + 3y2 – 12x + 6y + 15 = 0 4y2 – 8y – 9x2 – 32 = 0 х2 – 6х + 4у + 9 = 0
	3x2 – 6х + 2y2 – 4y + 1 = 0 x2 – y2 + 2y – 3 = 0 x2 + 2х – y + 4 = 0		9x2 + y2 – 2y + 10 = 0 x2 + 2х – 4y2 – 3 = 0 х2 – 6х + у + 10 = 0
	x2 + y2 – 6x + 10y – 15 = 0 4x2 – 9y2 – 8x – 36y – 68 = 0 2x2 + 8х – y + 12 = 0		x2 + 25y2 + 10х = 0 9x2 – y2 + 2у – 10 = 0 у2 + 6у + 4х + 13 = 0
	3x2 + 3y2 – 4x + 9y + 4 = 0 x2 – 4y2 + 6x + 16y – 11 = 0 x2 + 4х – 6y + 3 = 0		3x2 + 2y2 – 12х – 4у + 8 = 0 9x2 – 16y2 – 128у – 112 = 0 у2 + 6у + 2х + 4 = 0

Таблица 2

№ вар.	А)	Б)	В)
	16х2 + 3у2 = 48	х2 – у2 = 4	х2 = –4у
	9х2 + 25у2 = 225	х2 – 18у2 = 35	у2 = –х
	25х2 + 6у2 = 150	у2 – х2 = 9	у2 = 3х
	4х2 + 5у2 = 20	х2 – 25у2 = 25	х2 = –8у
	9х2 + у2 = 9	х2 – у2 = 16	х2 = 9у
	3х2 + у2 = 3	у2 – 10х2= 10	у2 = 5х
	16х2 + 5у2 = 80	9у2 – 4х2 = 36	у2 = –8х
	9х2 + 3у2 = 27	у2 – х2 = 16	х2 = 14у

Продолжение табл. 2

№ вар.	А)	Б)	В)
	25х2 + 7у2 = 175	4х2 – 16у2 = 64	х2 = –15у
	х2 + у2 = 5	у2 – 4х2 = 4	у2 = 8х
	9х2 + 21у2 = 189	х2 – 3у2 = 3	у2 = –2х
	х2 + 5у2 = 5	у2 – 6х2 = 6	2х2 = 3у
	3х2 + 8у2 = 24	х2 – у2 = 1	7х2 = –2у
	х2 + 9у2 = 1	16х2 – 9у2 = 144	у2 = 7х
	25х2 + у2 = 1	у2 – х2 = 9	у2 = –9х
	16х2 + 2у2 = 32	9х2 – 5у2 = 45	х2 = –7у
	9х2 + 4у2 = 36	5х2 – 4у2 = 20	х2 = у
	16х2 + 9у2 = 144	у2 – 5х2 = 5	у2 = 5х
	9х2 + 5у2 = 45	х2 – у2 = 16	у2 = –4х
	4х2 + у2 = 4	4у2 – 15х2 = 60	х2 = 6у
	х2 + 3у2 = 3	7у2 – 9х2 = 63	х2 = –у
	16х2 + у2 = 16	3х2 – 16у2 = 48	у2 = 4х
	5х2 + 9у2 = 45	7х2 – 16у2 = 112	у2 = –7х
	4х2 + 12у2 = 1	16х2 – у2 = 64	2х2 = 5у
	81х2 + 25у2 = 1	9у2 – х2 = 81	3х2 = –4у
	7х2 + у2 = 7	4х2 – 13у2 = 52	3у2 = –х

Таблица 3

№ вар.	Задание	№ вар.	Задание
	9х2 + 4у2 – 54х – 32у + 109 = 0		2х2 + 5у2 + 8х – 10у – 17 = 0
	3х2 – 2у2 + 6х + 4у – 5 = 0		4х2 + 5у2 + 20х – 30у + 10 = 0
	2х2 – 2у2 + 4х – 4у – 2 = 0		9х2 + 9у2 + 42х – 54у – 95 = 0
	4х2 + 9у2 + 16х + 18у – 11 = 0		8х2 + 3у2 – 16х + 12у – 4 = 0
	9х2 + 4у2 – 18х – 8у – 23 = 0		6х2 – 4у2 + 36х + 16у + 2 = 0
	4х2 – 9у2 – 8х + 36у – 68 = 0		2х2 + 2у2 – 6х + 10у – 17 = 0
	3х2 + 3у2 – 6х + 9у + 4 = 0		5х2 + 9у2 – 30х + 18у + 9 = 0
	3х2 + 2у2 – 6х – 4у + 1 = 0		2х2 + 5у2 + 8х – 10у – 17 = 0
	36х2 – 36у2 – 72х – 72у – 1 = 0		16х2 – 9у2 – 64х – 54у – 161 = 0
	16х2 + 25у2 – 32х + 50у – 359 = 0		2х2 – 4у2 + 4х – 8у – 10 = 0
	4х2 + 9у2 – 8х – 36у + 4 = 0		4х2 + 2у2 + 8х + 4у – 2 = 0
	16х2 – 25у2 – 32х + 50у – 409 = 0		5х2 – 2у2 + 20х + 4у + 8 = 0
	4х2 + 9у2 + 32х – 54у + 109 = 0		7х2 + 9у2 + 14х + 36у – 20 = 0

Таблица 4

№ вар.	А)	Б)	В)
	b = 15, F1(–10; 0)	a = 13,	d: x = –4
	A2(4; 0),	b = 3,	d: y = –2
	a = 4, F2(3; 0)	c = 5 ,	d: x = 2
	a = 11,	b = 2 , F1(–11; 0)	d: y = –4
	b = 2, F2( ; 0)	a = 7,	d: x = 5
	A1(–5; 0),	a = 8,	d: y = 1
	A2(3; 0),	a = 5,	d: x = 6
	b = 4, F2(9; 0)	b = ,	d: y = 4
	B2(0; ),	a = 10,	d: x = 8
	A2(8; 0),	b = 3, F2(7; 0)	d: y = –1
	a = 12,	A2( ; 0), M(– ; 1)	d: x = –2
	b = 2,	a = 13,	d: y = 6
	a = 6, F1(–4; 0)	c = 6,	d: x = 1
	A2(8; 0),	b = 2, F1( ; 0)	d: y = 5
	b = 5,	c = 15,	d: x = 3
	a = 9, F2(7; 0)	A2( ; 0),	d: y = 2

Продолжение табл. 4

№ вар.	А)	Б)	В)
	B2(0; 8),	a = 3,	d: x = 4
	b = 7, F2(5; 0)	a = 11,	d: y = –3
	B1(0; –2),	b = 6, F2(12; 0)	d: x = –6
	A1(–6; 0),	a = 6,	d: y = 8
	b = 5, F1(–10; 0)	a = 9,	d: x = –5
	a = 25,	b = , F1(–7; 0)	d: y = 3
	b = ,	A2( ; 0),	d: x = –1
	a = 13, F1(–5; 0)	c = 9,	d: y = –6
	A1(–3; 0),	b = 4, F1(–11; 0)	d: x = –3
	b = 7, F2(13; 0)	a = 6,	d: y = –5