Алгебраические свойства скалярного произведения

Лекция №5

Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается , (или ). Итак, по определению,

, (6)

где .

Формуле (6) можно придать иной вид. Так как ,

а , то получаем:

, (7)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Алгебраические свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: .

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: .

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: .

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

В частности: .

Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т.е. ().

5. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если , то . Справедливо и обратное утверждение: если и , то .