Геометрические характеристики плоских сечений. Определение координат центра тяжести фигуры

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси (масса тела является мерой его инертности в поступательном движении). Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции (мех. системы) равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

, где: m_i — масса i -й точки, r_i — расстояние от i -й точки до оси.

Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат расстояний от них до этой оси

Осевой момент инерции обозначается I с индексом, соответствующим оси:

I_x = Σ y² dA; I_y = Σ x² dA.

Если сложить осевые моменты инерции плоской фигуры относительно перпендикулярных осей, то получим полярный момент инерции этой фигуры относительно точки пересечения этих осей (начала координат), т. е.:

I_x + I_y = I_ρ.

Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на расстояния от них до этой оси.

Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: S_x, S_y, S_z. S_x = Σ y dA; S_y = Σ x dA, где еще раз говорю, что y и x – расстояния от площадок до оси. Единица измерения: [см³ ] [м³ ]

Полярный момент инерции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ² (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения.

Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м4, см4) и может быть лишь положительной.

Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то

J_p0 = J_x + J_y, потому что ρ ² = x² + y²

Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение:

T — крутящий момент, r — расстояние от оси кручения, J_p0 — полярный момент инерции.

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю называются главными (осевые моменты принимают экстремальные значения).

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела.

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Координаты центра тяжести. Зная площадь сечения и его статические моменты можно определить координаты центра тяжести по следующим формулам: