Статические моменты и координаты центра тяжести плоских фигур

Рассматриваем случай, когда фигура является однородной, то есть ее плотность в каждой точке равна 1. Пусть фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции . Выделим элементарную бесконечно узкую вертикальную полоску. Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, находим ее массу, равную площади . Для определения соответствующих элементарных моментов предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее центре тяжести, то есть центре прямоугольника. Полученная материальная точка отстоит от оси на расстояние , от оси на расстояние , что приближенно равно . Тогда элементарные моменты равны и . Отсюда получаем формулы

; .

Координаты центра тяжести однородной криволинейной трапеции определяются по формулам .

В случае явного задания функции уравнением , имеем

.

Пример 3. Найти статический момент относительно оси и координаты центра тяжести фигуры ограниченной осью и одной аркой циклоиды.

Запишем параметрические уравнения циклоиды

Подставим эти уравнения в формулу для вычисления статического момента фигуры относительно оси :

Найдем координаты центра тяжести фигуры. Так как , то фигура симметрична относительно прямой . Поэтому абсцисса центра тяжести . Ординату центра тяжести находим по формуле .

Вычислим площадь фигуры

.

Учитывая, что соответствующий статический момент уже посчитан, находим ординату центра тяжести . Итак, центр тяжести фигуры расположен в точке .