Применение фильтра второго порядка для определения орбиты стационарного ИСЗ по данным автономных навигационных средств

Автономная система навигации стационарного искусственного спутника Земли является весьма перспективной, поскольку она позволяет разгрузить наземный командно-измерительный комплекс, и ее функционирование не зависит от исправности наземных навигационных средств. Однако при реализации автономной навигационной системы СИСЗ возникает ряд трудностей, связанных с обеспечением требуемой точности определения орбиты. Дело в том, что автономные навигационные средства обладают существенно более низкой точностью и информативностью, чем наземные.. Низкая информативность автономных (бортовых) навигационных средств выражается прежде всего в малой чувствительности измеряемых параметров к изменению положения СИСЗ на орбите. Кроме того, соотношения, связывающие измеряемые (навигационные) параметры с компонентами вектора состояния CPIC3, существенно нелинейны. Наличие больших ошибок линеаризации в сочетании со значительными систематическими и случайными ошибками измерений делает невозможным применение на борту линейного и квазилинейного фильтров Калмана. В частности, если использовать для навигации такие параметры, как углы Солнце—СИСЗ — Земля и Полярная Звезда — СИСЗ — Земля (рис. 3.11), то в процессе имитационного моделирования обработки информации с помощью квазилинейного фильтра Калмана можно наблюдать эффекг «расходимости» процесса оценивания в том смысле, что отклонения: оценок от истинных значений оцениваемых величин возрастают^ В дальнейшем, как это принято в настоящее время при рассмотрении задач автономной навигации, измеряемые углы: будем называть СОЗ» (Солнце — объект — Земля) и 303 (Звезда — объект—Земля). Расходимость процесса оценивания иллюстрируется рис. 3.12 и 3.13. На этих рисунках приведены графики-изменения апостериорных: дисперсий координат положения СИСЗ в экваториальной декартовой системе координат, а также-графики изменения ошибок оценок, соответствую-

Рис. 3.11. Схема измерений при автономной навигации СИСЗ

Рис. 3.12. Графики измерения апостериорных дисперсий при автономной навигации СИСЗ

щие этим дисперсиям. Исходные данные при моделировании были приняты следующими. Априорные среднеквадратичные отклонения компонент вектора состояния в декартовой экваториальной системе координат =10 км, = 20 км, = 10 км, =0,2×10^-3 км/с; среднеквадратичные отклонения систематических и случайных ошибок измерения углов принималисв равными 0,9×10^-3 рад.

В данной задаче опишем движение СИСЗ в декартовой экваториальной системе координат, так как при использовании сферической системы координат, как это было сделано в разд. 3.2.1, апостериорная корреляционная матрица плохо обусловлена. Это означает, в частности, что ее элементы имеют большой разброс порядков (до 20 порядков), что приводит к значительным численным ошибкам при вычислении оценок в БЦВМ, имеющей меньшую, по сравнению с универсальной ЦВМ, длину разрядной сетки.

Остановимся на модели движения СИСЗ. В соответствии с [29] уравнения движения СИСЗ в декартовых экваториальных координатах имеют вид

Рис. 3.13. Графики изменения ошибок оценок при автономной навигации СИСЗ

где f - гравитационная постоянная; М — масса Земли; - радиус-вектор СИСЗ; х, у, z — декартовы экваториальные координаты СИСЗ; и — управляющее ускорение.

В уравнениях (3.125)

В этих выражениях — гравитационные ускорения, вызванные нецентральностью и аномалиями гравитационного поля Земли, вторые слагаемые в правой части выражений (3.126) представляют собой возмущающие ускорения, вызванные притяжением. Луны и Солнца. Индексы i =l, 2 при координатах обозначают соответственно координаты Луны и Солнца, — расстояние между i-м возмущающим телом и СИСЗ, — расстояние между i-м возмущающим телом и центром масс Земли. В дальнейшем будем считать ускорения, вызванные нецентральностью и аномалиями: гравитационного поля тяготения Земли, а также притяжением Луны и Солнца, известными точно. Это означает, что как в имитационной модели движения, так и в модели движения, используемой на борту СИСЗ, указанные возмущающие ускорения описываются одинаковыми выражениями и, следовательно, в дальнейшем при: имитационном моделировании процесса автономной навигации их можно не учитывать.

Системе уравнений (3.125) соответствует вектор состояния с компонентами

С учетом этих обозначений система уравнений (3.126) может быть переписана в нормальной форме:

или в векторной форме

где — вектор-функция правых частей системы (3.127). Начальные условия для уравнения (3.128)—гауссовский случайный вектор с характеристиками

Математическая модель управляющего воздействия совпадает с моделью, описанной в разд. 3.2.1. В частности, случайная ошибка, реализации управляющего воздействия описывается уравнением (3.64). Опишем математическую модель измерений, осуществляемых на борту СИСЗ.

Как уже указывалось, при формировании автономной системы: навигации СИСЗ возможен следующий состав измерений [16]: углы Солнце — объект — Земля и Полярная Звезда — объект — Земля . В соответствии с [34] соотношения для измерений имеют вид

Для угла соотношение удобно записать в сферической экваториальной системе координат (чтобы избежать использования в математической модели прямоугольных координат Звезды):

где —прямое восхождение и склонение звезды; —сферические координаты СИСЗ.

Измерения, осуществляемые с помощью автономных навигационных средств, искажаются аддитивными ошибками двух типов: быстро и медленно меняющимися (систематическими). Первые представляют собой последовательность статистически независимых гауссовских случайных векторов с математическим ожиданием, равным нулю, и диагональной корреляционной матрицей,, элементы которой в общем случае изменяются от сеанса к сеансу. Вторые — систематические ошибки — рассматриваются как независимые гауссовские случайные процессы с нулевыми математическими ожиданиями и известными корреляционными функциями.

В частности, если корреляционная функция систематической ошибки имеет вид (3.63), т. е. характеризуется априорной дисперсией и интервалом корреляции , то ей соответствует уравнение формирующего фильтра вида (3.64). Систематические ошибки образуют l -мерный вектор С. В рассматриваемой задаче l = 2. В таком случае уравнения формирующих фильтров образуют систему вида (3.70) с начальными условиями

Теперь можно ввести расширенный вектор состояния, насчитывающий девять компонент:

Где — вектор, определяемый системой уравнений (3.128), — ошибка реализации управления. Вектору х соответствует стохастическое дифференциальное уравнение

где F(x) — вектор-функция, определяемая правыми частями уравнений (3.127), (3.64) и (3.70); В —блочная матрица 9×3:

— вектор белых шумов.

определяются из (3.70). Начальные условия для (3.131):

x(0) — гауссовский случайный вектор с характеристиками

С учетом введенных выше обозначений соотношения для измерений имеют вид

где — вектор-функция, определяемая правыми частями выражений (3.129) и (3.130). Связь между сферическими координатами СИСЗ, входящими в (3.130), и декартовыми координатами СИСЗ, образующими компоненты вектора х, устанавливается с помощью соотношений

Как обычно, качество процесса оценивания проверяется с помощью имитационного моделирования в соответствии со схемой на рис. 3.2. В качестве алгоритма оценивания принят фильтр второго порядка, описываемый соотношениями (ЗЛ23), (3.124). Имитационное моделирование проводится при различных начальных условиях движения, при различных мерных участках, при различных интервалах корреляции систематических ошибок.

Исходные данные имитационного моделирования соответствуют следующему диапазону значений:

1. Длина мерного участка Т (в сутках)

2. Суммарное время работы измерительных средств (в часах на 1 сутки)

3. Математическое ожидание компонент вектора в декартовой экваториальной системе координат (в км, км/с):

Этим значениям компонент вектора соответствуют следующие значения оскулирующих элементов орбиты СИСЗ: период Т = = 86164 с, эксцентриситет е = 0,005, наклонение i = 0,03, долгота восходящего узла = l,3, аргумент перицентра = 0,4, истинная аномалия = 4,3.

4. Априорная корреляционная матрица вектора — диагональная со средними квадратичными отклонениями (в км, км/с):

5. Среднеквадратичное отклонение систематической и случайной ошибок измерения (в угловых секундах) менялись в диапазоне

Характер протекания процессов оценивания представлен на рис. 3.14, где показано изменение апостериорного среднеквадратичного отклонения периода обращения СИСЗ и отклонения оценки периода от истинного значения .