Фильтр второго порядка

Естественным развитием квазилинейного фильтра Калма-на, основанного на линеаризации уравнений движения и соотноше­ний для измерений в окрестности оптимальной оценки, полученной на предыдущем шаге измерений, является алгоритм, обеспечиваю­щий дальнейший более полный учет нелинейных свойств соотноше­ний для измерений. Такой учет может быть осуществлен аппрокси­мацией зависимостей, связывающих компоненты вектора состояния и вектора измерений, полиномами наилучшего в среднеквадра­тичном смысле приближения или полиномами с узлами, определяе­мыми оценкой, полученной на предыдущем шаге оценивания. Рас­смотрим подробнее последний способ аппроксимации. Пусть модели изменения состояния и измерений совпадают с (3.90) и (3.91) со­ответственно. Представим компоненты вектор-функции g_i, входящей в выражение (3.91), в виде

где — вектор состояния и его компонен­ты; —прогнозированная оценка компоненты , т. е. оцен­ка этой компоненты, полученная по измерениям до момента включительно; —постоянные для данного момента коэффициенты.

Опишем способ определения этих коэффициентов. Обозначим

где — диагональные элементы апостериорной кор­реляционной матрицы , характеризующие точность прогнозиро­ванных оценок . Потребуем совпадения полинома и исходной нелинейной функции в момент в четырех точках:

где — матрицы 4×4, диагональные элементы j -й и r -й строк которых единицы, а остальные — нули.

Из условия совпадения функций в точках , найдем коэффициенты полинома:

Как и при использовании квазилинейного фильтра Калмана, по мере уточнения оценок компонент вектора состояния размеры об­ласти аппроксимации функции полиномом уменьшаются. За­метим также, что в общем случае аппроксимация функции может быть осуществлена полиномом, порядок которого выше вто­рого. Однако при этом объем вычислений на каждом шаге изме­рений существенно увеличивается.

В отдельных случаях точность оценивания может быть повыше­на путем использования для аппроксимации полинома наилучшего в среднеквадратичном смысле приближения.

С целью получения соотношений, удобных для реализации на ЭВМ, введем в момент t_i,(i — 0, 1, 2,..., N) расширенный вектор фа­зовых координат в виде

Иначе говоря, будем вводить компоненты вектор-функции поочередно в пределах одного шага измерений t_i в число компонент расширенного вектора состояния оцениваемой динамической систе­мы. В результате окажется, что одна из компонент расширенного вектора состояния, а именно , измеряется непосредственно. При этом компоненты вектора измерений y_i, относящиеся к моменту t_i, будут обрабатываться поочередно; апостериорные характеристики компонент вектора состояния, полученные в результате обработки -й компоненты вектора , будут априорными при обработке (k+1)-й компоненты вектора y_i и т. д.

С введением вектора возникает необходимость в определе­нии статистических характеристик этого вектора, априорных по от­ношению к обрабатываемому измерению. Здесь ограничимся опре­делением априорных математического ожидания и корреляционной матрицы вектора т. е. характеристик не выше второго порядка.

Для того чтобы найти математическое ожидание вектора , достаточно определить априорное математическое ожидание его компоненты . В соответствии с выражением (3.113) имеем

Априорная корреляционная матрица вектора определяется в виде

где — априорная дисперсия компоненты ; — матрица взаимных корреляционных моментов компонент вектора состояния ; и компоненты . В соответствии с выражением (3.113), полагая третьи моменты равными нулю, оп­ределяем

где — центральные моменты четвертого порядка, выражаемые через центральные моменты второго порядка следующим об­разом [34]:

Взаимные корреляционные моменты компонент и , j— 1, 2,..., п, определяющие элементы матриц всоответствии с (3.113), могут быть записаны при условии, что третьи моменты равны нулю, в виде

где — компоненты вектора .

Таким образом, с помощью приведенных выше соотношений (3.115), (3.117), (3.118), (3.119) статистические характеристики вектора определяющие его априорную к моменту обработки k-й составляющей вектора у_i плотность вероятностей как гауссовскую, определены.

Для определения апостериорных характеристик вектора можно формально применить соотношения (3.42), (3.43), опреде­ляющие линейный дискретный фильтр Калмана, с учетом того, что при принятой схеме обработки матрица H, связывающая k-ю (k = 1, 2,..., l) компоненту вектора у_i с компонентами вектора представляет собой матрицу-строку 1× (n×1), первые n-столбцов которой нули, а последний — единица:

где — дисперсия ошибки измерения k-й компоненты вектора у_i, y_ik — значение k-й компоненты вектора у_i, — апостериорная ковариационная матрица вектора , т. е. матрица, получающаяся после обработки k-й компоненты вектора у_i, — байесовская оценка вектора , полученная в результате обработки k-й компо­ненты вектора у_i.

Так как обрабатываемые измерения являются скалярными, то соотношения фильтра второго порядка удобно записать в скалярной форме:

В этих соотношениях - соответственно элементы априорной и апостериорной ковариационных матриц, полученные до и после обработки компоненты вектора — соответ­ственно априорная и апостериорная оценки компонент вектора при тех же условиях.

«Начальные условия» для рекуррентных соотношений, описы­вающих фильтр второ-го порядка, те же, что и для описанных выше байесовских алгоритмов. Переход от момента к моменту в фильтре второго порядка происходит также, как и в квазилиней­ном фильтре Калмана, т. е. с помощью соотношений (3.95), (3.96).