Уточнение корней – это доведение их до заданной степени точности. Существует несколько методов уточнения корней: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций. Рассмотрим уточнение корней методом касательных.
В дальнейшем будем считать, что функция f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ], искомый корень х * отделен на этом промежутке и является единственным.
Суть метода касательных заключается в том, что на промежутке [ a, b ] дуга кривой y = f (x) заменяется касательной к этой кривой. За приближенное значение корня принимается точка пересечения касательной с осью х (рис. 6, 7). Возможны следующие варианты:
Вариант 1. f (a) < 0, f (b) > 0, f' (x) > 0, f'' (x) > 0, т.е. функция монотонно-возрастающая, график функции – выпуклый вниз (рис. 6). Касательная к кривой в точке b пересекает ось х в точке с 1, которая и принимается за первое приближение корня х 1. Уравнение касательной к кривой в точке b есть
(1)
Найдем значение x = x 1, для которого y = 0.
|
|
Эта формула носит название формулы метода касательных.
| |||
| |||
Рис. 6 Рис. 7
Теперь корень (первое приближение) находится внутри отрезка [ a, c 1]. Если значение корня не устраивает, его можно уточнить, применяя метод касательных к отрезку [ a, c 1]: построим касательную к кривой в точке с 1. Она пересекает ось х в точке с 2. Точка пересечения касательной с осью х, принимается за второе приближение корня − х 2.
Продолжая этот процесс, находим
(2)
Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной точностью ε, т.е. до тех пор, пока корень не будет отделен на отрезке [ xn -1 - xn ], для которого выполняется условие
| xn -1 - xn | < ε.
По формуле (2) корни вычисляются и для случая, когда f (a) > 0, f (b) < 0, f' (x) < 0, f'' (x) < 0, т.е. функция монотонно-убывающая, а график функции – выпуклый вверх (рис. 7).
Вариант 2. f (a) > 0, f (b) < 0, f' (x) < 0, f'' (x) > 0, т.е. функция монотонно-убывающая, а график функции – выпуклый вниз (рис. 8).
(3)
| |||
| |||
Рис. 8 Рис. 9
Найдем значение x = x 1, для которого y = 0.
или в общем виде
. (4)
Процесс уточнения продолжается до тех пор, пока не будет получено приближенное значение корня с заданной точностью ε.
По формуле (4) корни вычисляются и для случая, когда f (a) < 0, f (b) > 0, f' (x) > 0, f'' (x) < 0, т.е. функция монотонно-возрастающая, график функции – выпуклый вверх (рис. 9).
|
|
На основании полученных выражений можно сформулировать правило: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f (b)· f'' (x) > 0, в качестве начального приближения берем точку b = x 0 и используем формулу (2); во втором случае – f (a)· f'' (x) > 0, в качестве начального приближения берем точку a = x 0 и используем формулу (4).
Пример (продолжение). □Уточнить корни уравнения f (x) = x 3 -8 x + 2, отделенные на отрезках [-3, -2], [0, 1], [2, 3] методом касательных с точностью ε = 0,005.
Решение.
1) Уточним корень уравнения f (x) = x 3 -8 x + 2, отделенный на отрезке [-3, -2].
f (a) = f (-3) = -1, f (b) = f (-2) = 10, f' (x) > 0, f'' (x) < 0 (см. табл. 3 и рис. 9), поэтому в качестве начального приближения возьмем точку a = -3 и используем для вычислений формулы (3) и (4), вспомогательные вычисления выполним в таблице (табл. 4) или реализуем в таблице Excel (рис. 11, 11- а).
|
Рис.10(режим решения)
Рис. 10-а (режим формул)
.
|-2,947 – (-3)| = 0,053;
0,053 > 0,005.
|-2,946 – (-2,947)| = 0,001;
0,001 < 0,005,
следовательно, x = -2,946 − первый искомый корень уравнения f (x) = x 3 -8 x + 2, вычисленный методом касательных с точностью ε = 0,005.●