Метод касательных (Ньютона)

Метод касательных отличается от метода хорд тем, что здесь рассматривается не секущая, соединяющая концы дуги графика, а касательная к графику. Точка пересечения касательной с осью ОХ дает приближенное значение корня.

Пусть действительный корень уравнения f(x) = 0 изолирован на отрезке [a; b]. Выберем на отрезке [a; b] такое число х₀, при котором имеет тот же знак что и , т.е. выполняется условие

>0 (5)

Проведем в точке М₀ (х₀; ) касательную к кривой

у = f(x). За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Это приближенное значение корня найдется по формуле:

(6)

Применив этот метод вторично в точке М₁ (х₁; ), получим:

(7)

и т.д. Полученная таким образом последовательность х₀, х₁, х₂.... имеет своим пределом искомый корень.

Пример 1.3:

Методом касательных найти положительный корень уравнения х⁴- 2х – 4 = 0 с точностью до 0,01

Решение. Здесь f(x) = х⁴- 2х – 4, =4х³ – 2, = 12х². Так как f(x) и при х₀=1,7 имеют один и тот же знак, а именно: f (1,7) = 0,952 > 0 и = 34,68> 0, то применяя формулу где =17,652. Тогда = 1,646.