2017-11-30
1104
Полное количество тепла, которое получает или отдаёт единица площади пластины при изменении её температуры от 
до 
равно
.
За любой промежуток времени от 
до 
.
По теореме о среднем
,
где 
– средняя по толщине пластины температура на момент времени 
.
Тогда за любой промежуток времени от до или от Fo=0 до Foк энтальпия пластины изменится на
.
Таким образом
.
.
Если 
то
.
5.2. Бесконечно длинный цилиндр
Рис. 25. Теплопроводность бесконечного цилиндра
| Цилиндр радиуса R отдаёт или получает тепло через боковую поверхность. Коэффициент теплоотдачи  во всех точках поверхности одинаков и постоянен. Температура среды постоянна. Начальная температура цилиндра одинакова во всех точках. Теплофизические свойства цилиндра не зависят от температуры. Уравнение теплопроводности цилиндра имеет вид
 (5.13)
|
Здесь 
; 
; 
. Начальное условие: 
.
Граничные условия:
; 
,
где 
. Данная задача решается методом разделения переменных.
. (5.14)
Здесь 
– функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка от действительного аргумента; 
– корень характеристического уравнения
|
|
|
.
Рис.26. Функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка
| 
Рис. 27. К решению характеристического уравнения
|
Количество тепла, отдаваемое или воспринимаемое цилиндром за время от до есть , где 
, а
.
Если Fo>0,25, то можно ограничиться первым членом ряда.
;
.
5.3. Нестационарная теплопроводность тел конечных размеров
В общем случае расчёт температурного поля в теле связано с решением трёхмерного нестационарного уравнения в различных системах координат. Граничные условия в этих задачах могут быть нелинейными функциями координат, температуры, времени. Такие задачи чрезвычайно сложны, поэтому получить аналитические решения невозможно.
Главным методом решения такого рода задач является численное решение методом конечных разностей или методом конечных элементов.
Однако в некоторых специальных случаях, при определённых допущениях можно получить решения трёхмерного уравнения теплопроводности.
