Условия однозначности

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из этого множества выделить конкретное решение, дифференциальное уравнение нужно дополнить условиями однозначности.

Условия однозначности включают в себя:

- геометрические условия (форма и размеры тела);

- физические условия, характеризующие такие свойства тела, как теплопроводность, плотность, теплоёмкость;

- начальное условие, определяющее распределение температуры в теле в начальный момент времени;

- граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

Форма тела в значительной мере определяет выбор системы координат. Перенос тепла в параллелепипедах удобнее и проще описывать в прямоугольной декартовой системе координат. Для тел вращения больше подходит цилиндрическая система координат. Для сферических тел – сферическая система координат и т.д.

Начальное условие необходимо задавать при решении нестационарных задач. В общем виде это условие можно записать в виде:

при .

Граничные условия могут быть заданы различными способами. В зависимости от способа задания различают граничные условия первого, второго, третьего и четвёртого родов (I, II, III, IV).

Граничные условия первого рода задают распределение температуры на поверхности тела

,

где – температура на поверхности тела.

Граничные условия второго рода задают значение плотности теплового потока для всех точек на поверхности тела.

.

Здесь n – нормаль к поверхности; x,y,z – координаты точек на поверхности тела. Такие случаи теплообмена обычно наблюдаются в нагревательных печах при радиационном теплообмене.

Граничные условия третьего рода применяются при конвективном или радиационном теплообмене между телом и окружающей средой. Для этого используется формула Ньютона - Рихмана в виде , где , Вт/(м²К) называется коэффициентом теплоотдачи; – температуры поверхности тела и жидкости, соответственно. Согласно закона сохранения энергии количество тепла, передающегося между телом и жидкостью равно количеству тепла подводимому к (отводимому от) поверхности тела за счёт теплопроводности.

.

Коэффициент теплоотдачи зависит от большого количества факторов.

Граничные условия четвёртого рода задаются в области контакта двух твёрдых тел или твёрдого тела и жидкости. Такие граничные условия называются также сопряжёнными. Предполагается, что тепловой контакт является идеальным. В этом случае на поверхности контакта имеет место равенство температур двух тел, а также равенство плотностей теплового потока.

и .

Граничные условия четвёртого рода физически являются наиболее точными, однако в случае контакта твёрдого тела с жидкостью их реализация сопряжена со значительными трудностями.