Дифференциальное уравнение теплопроводности

Теплопроводность

Основные определения

Теплопроводность представляет собой процесс распространения теплоты при непосредственном соприкосновении частиц тела или отдельных тел. Перенос тепла теплопроводностью вызван движением микрочастиц тела. В газах перенос тепла теплопроводностью происходит при диффузии атомов и молекул. В жидкостях и твёрдых телах диэлектриках теплота теплопроводностью переносится путём упругих волн. В металлах теплопроводность в основном осуществляется диффузией свободных электронов, а также и упругими колебаниями кристаллической решётки.

В аналитической теории теплопроводности вещество считается сплошной средой, заполняющей весь выделенный для него объём. Таким образом, не учитывается молекулярное строение вещества.

Перенос тепла происходит, если в теле или системе существуют области с различной температурой. При этом в общем случае температура изменяется в пространстве и во времени. Совокупность температур всех точек тела называется температурным полем. Таким образом . Если температура тела изменяется с течением времени, такое поле называется нестационарным. Такое поле соответствует неустановившемуся тепловому режиму. Если температура тела не изменяется во времени, поле температур называют стационарным. В этом случае .

Совокупность точек тела, имеющих одинаковую температуру, называется изотермической поверхностью. Как следствие, изотермические поверхности не пересекаются. Пересечение изотермической поверхности с плоскостью образует изотерму. Температура тела изменяется только при переходе от одной изотермы к другой. Наиболее быстро изменение температуры происходит в направлении нормали n к изотерме. В самом деле (см. рис. 1)

Рис.1. Изотермы

, поскольку . Увеличение температуры в направлении нормали характеризуется градиентом температуры – вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры. . Согласно закону Фурье, количество тепла dQ, проходящего через элемент

изотермической поверхности dF за время пропорционально градиенту температуры

.

Здесь , Вт/мК называется коэффициентом теплопроводности или просто теплопроводностью. Знак «–» говорит о том, что самопроизвольно тепло распространяется в сторону понижения температуры. Количество тепла, проходящего за единицу времени, называется тепловым потоком.

Рис.2. Изотермы и линии теплового потока

Таким образом, тепловой поток есть вектор, действующий по нормали к изотермической поверхности и направленный противоположно градиенту температуры (рис.2). Тепловой поток измеряется в ваттах. Тепловой поток, проходящий через единицу площади изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока . Скалярная величина вектора плотности теплового потока есть .

Рис.3. Диапазон изменения коэффициента теплопроводности веществ

Проекции плотности теплового потока на оси координат есть

; ; .

Коэффициент теплопроводности твёрдых тел зависит от температуры, а для жидкостей и газов – от температуры и давления. На рис.3 показан диапазон изменения коэффициента теплопроводности различных веществ.

В случае однородного изотропного тела теплопроводность не зависит от направления и векторы теплового потока и градиента температуры лежат на одной прямой. А в анизотропных телах теплопроводность существенно зависит от направления переноса теплоты и представляет собой тензор второго ранга.

.

Для анизотропных тел закон Фурье имеет следующий вид

;

;

.

В соответствии с соотношениями Онзагера ; ; . Таким образом тензор теплопроводности является симметричным. В анизотропном теле векторы теплового потока и градиента теплопроводности не лежат на одной прямой.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рис. 4. К выводу уравнения теплопроводности

Для упрощения вывода примем ряд допущений.

1. Тело считаем однородным и изотропным

2. Физические свойства постоянны.

3. Изменение объёма тела вследствие изменения температуры намного меньше самого объёма.

4. Макроскопические частицы тела неподвижны относительно друг друга.

Рассмотрим элементарный объём с размерами dx, dy, dz (рис.4). Изменение внутренней энергии данного объёма вызвано разностью потоков тепла, входящих в объём и выходящих из него через грани, а также теплом, выделяющимся внутри объёма, например, при прохождении электрического тока или вследствие химических реакций. Изменение внутренней энергии элементарного объёма запишем в виде

. (2.1)

Здесь – плотность, кг/м³; u – удельная внутренняя энергия, Дж/кг; – плотность внутренних источников тепловыделения, Вт/м³.

Разложим в ряд Тейлора относительно точки x и сохраним первый член ряда.

.

Разность потоков входящих и выходящих вдоль оси x есть

. (а)

Аналогично, для потоков тепла вдоль осей y и z получим

; . (б)

Подставим (а) и (б) в (2.1).

. (2.2)

Поток тепла можно представить как произведение плотности теплового потока на площадь грани, перпендикулярной оси х – dydz, т.е. . В соответствии с законом Фурье . Таким образом

. (в)

Для проекций теплового потока на оси координат y и z получим

; . (г)

Изменение удельной внутренней энергии можно представить в виде du=cdt, где с – удельная теплоёмкость, Дж/(кгК). Подставим (в), (г) в (2.2) и, сокращая на величину элементарного объёма, получим

. (2.3)

Данное уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности для твёрдого тела. Уравнение (2.3) относится к дифференциальным уравнениям параболического типа. Решение этого уравнения связано с большими трудностями, поэтому во многих практически важных случаях это уравнение стремятся упростить. Если коэффициент теплопроводности в заданном диапазоне температур изменяется незначительно, то его можно принять постоянным и равным среднему значению. В этом случае можно вынести из под производных. Уравнение (2.3) примет вид.

. (2.4)

Здесь , м²/с называется коэффициентом температуропроводности.

При отсутствии выделения тепла внутри тела и уравнение (2.4) можно преобразовать к виду

. (2.5)

Если температура тела не изменяется в течение времени, производная =0 и уравнение (2.5) можно упростить.

. (2.6)

Дальнейшее упрощение уравнения (2.6) связано с понижением его размерности, т.е. к уменьшению числа пространственных координат. Для этого необходимо выполнить оценки величины отдельных членов уравнения.

Рассмотрим, например, перенос тепла через оконное стекло из помещения на улицу. Пусть высота стекла равна 2 м, ширина 1 м и толщина – 3 мм. Температура в помещении равна 20 °С, а снаружи –20 °С. Направим ось х из помещения наружу, ось y по ширине и ось z по высоте. Температура стекла будет изменяться как по толщине, так и по высоте и ширине. Однако изменение температуры по высоте и ширине стекла, как показывает практика, невелико и составляет обычно 3…5 °С. В этом случае , и . Таким образом очевидно, что тепловой поток вдоль оси x значительно больше, чем вдоль осей y и z. и . Это означает, что можно пренебречь изменением температуры вдоль осей y и z и преобразовать уравнение (2.5) к виду

. (2.7)