Методы графической обработки результатов измерений

При обработке результатов измерений и наблюдений широко используются методы графического изображения, так как результаты измерений, представленные в табличной форме, иногда не позволяют достаточно наглядно характеризовать закономерности изучаемых про­цессов. Графическое изображение дает более наглядное представление о результатах эксперимента, позволяет лучше понять физическую сущность исследуемого процесса, выявить общий характер функциональной за­висимости изучаемых переменных величин, установить наличие максимума или минимума функции.

Для графического изображения результатов измерений (наблюдений), как правило, применяют систему прямоугольных координат. Если анализируется графическим методом функция у = f (х), то наносят в системе прямоугольных координат значения (х₁ у₁), (х₂ у₂), …, (х_n у_n) (рис. 6а). Прежде чем строить график, необходимо знать ход (течение) исследуемого явления. Как правило, качественные закономерности и форма графика экспериментатору ориентировочно известны из теоретических исследований.

Точки на графике необходимо соединять плавной линией так, чтобы она по возможности проходила ближе ко всем экспериментальным точкам. Если соединить точки прямыми отрезками, то получим ломаную кривую. Она характеризует изменение функции по данным эксперимента. Обычно функции имеют плавный характер. Поэтому при графическом изображении результатов измерений следует проводить между точками плавные кривые. Резкое искривление графика объясняется погрешностями измерений. Если бы эксперимент повторили с применением средств измерений более высокой точности, то получили бы меньшие погрешности, а ломаная кривая больше бы соответствовала плавной кривой.

Однако могут быть и исключения, так как иногда исследуются явления, для которых в определенных интервалах наблюдается быстрое скачкообразное изменение одной из координат (рис. 6б). Это объясняется сущностью физико-химических процессов, например фазовыми превращениями, радиоактивным распадом атомов в процессе исследования радиоактивности и т. д. В таких случаях необходимо особо тщательно соединять точки кривой. Общее «осреднение» всех точек плавной кривой может привести к тому, что скачок функции подменяется погрешностями измерений.

а б в

Рис. 6. Графическое изображение функции у = f(x):

а – плавная зависимость: 1 – кривая по результатам непосредственных измерений; 2 – плавная кривая; б – при наличии скачка; в – при трех переменных:

1 – z₁ = const; 2 – z₂ = const; 3 – z₃ = const; 4 – z₄= const; 5 – z₅ = const

Иногда при построении графика одна – две точки резко удаляются от кривой. В таких случаях вначале следует проанализировать физическую сущность явления, и, если нет основания полагать наличие скачка функции, то такое резкое отклонение можно объяснить грубой ошибкой или промахом. Это может возникнуть тогда, когда данные измерений предварительно не исследовались на наличие грубых ошибок измерений. В таких случаях необходимо повторить измерение в диапазоне резкого отклонения данных замера. Если прежнее измерение оказалось ошибочным, то на график наносят новую точку. Если же повторные измерения дадут прежнее значение, необходимо к этому интервалу кривой отнестись особенно внимательно и тщательно проанализировать физическую сущность явления.

Часто при графическом изображении результатов экспериментов приходится иметь дело с тремя переменными F = f(x, у, z). В этом случае применяют метод разделения переменных. Одной из величин z в пределах интервала измерений z₁ – z_п задают несколько последовательных значений. Для двух остальных переменных х и у строят графики y = f₁(x) при z_i = const. В результате на одном графике получают семейство кривых у = f₁(x) для различных значений z (рис. 6в). Если необходимо графически изобразить функцию с четырьмя переменными и более Ф = f(b, x, у, z), то строят серию типа предыдущих, но каждую из них при b₁,..., b_n = const или принимают из N переменных (N – I) постоянными и строят графики: вначале (N – 1) = f₂(x), далее (N – 2) = f₃(x), (N – 3) = f₄(х) и т. д. Таким образом, можно проследить изменение любой переменной величины в функции от другой при постоянных значениях остальных переменных. Этот метод графического анализа требует тщательности, большого внимания к результатам измерений. Однако он в большинстве случаев является наиболее простым и наглядным.

При графическом изображении результатов экспериментов большую роль играет выбор системы координат или координатной сетки. Координатные сетки бывают равномерными и неравномерными. У равномерных координатных сеток ординаты и абсциссы имеют равномерную шкалу. Например, в системе прямоугольных координат длина откладываемых единичных отрезков на обеих осях одинакова.

Из неравномерных координатных сеток наиболее распространены полулогарифмические, логарифмические, вероятностные. Полулогарифмическая сетка имеет равномерную ординату и логарифмическую абсциссу. Логарифмическая координатная сетка имеет обе оси логарифмические, вероятностная – ординату обычно равномерную и по абсциссе – вероятностную шкалу.

Назначение неравномерных сеток различное. В большинстве случаев их применяют для более наглядного изображения функций. Функция у = f(x) имеет различную форму при различных сетках. Так, многие криволинейные функции спрямляются на логарифмических сетках.

Большое значение в практике графического изображения экспериментальных данных имеет вероятностная сетка, применяемая в различных случаях: при обработке измерений для оценки точности, при определении расчетных характеристик (расчетной влажности, расчетных значений модуля упругости, межремонтных сроков службы и т. д.).

Иногда в процессе обработки экспериментальных данных графическим способом необходимо составить расчетные графики, ускоряющие нахождение по одной переменной других. При этом существенно повышаются требования к точности вычерчивания функции на графике. При вычерчивании расчетных графиков необходимо в зависимости от числа переменных выбрать координатную сетку и определить вид графика – одна кривая, семейство кривых или серия семейств. Большое значение приобретает выбор масштаба графика, что связано с размерами чертежа и соответственно с точностью снимаемых с него значений величин. Известно, что чем крупнее масштаб, тем выше точность снимаемых значений. Однако, как правило, графики не превышают размеров 20x15 см, что является удобным при снятии отсчетов. Лишь в отдельных случаях используют графики больших размеров.

Опыт показывает, что применяемая для вычерчивания графиков миллиметровая бумага в пределах размеров 15...20 см дает погрешность, не превышающую

± (0,1...0,2) мм. Это следует иметь в виду при вычерчивании расчетных графиков. Таким образом, абсолютная ошибка снимаемых с графиков величин может достигать ε = ± 0,2·М, где М – принятый масштаб графика. Очевидно, что точность измерений может быть выше точности снимаемых с графика величин.

Масштаб по координатным осям обычно применяют различный. От его выбора зависит форма графика: он может быть плоским (узким) или вытянутым (широким) вдоль оси (рис. 7). Узкие графики дают большую погрешность по оси х, широкие – по оси у. Из рисунка видно, что правильно подобранный масштаб (нормальный график) позволяет существенно повысить точность отсчетов. Расчетные графики, имеющие минимум функции или какой-либо сложный вид, особо тщательно необходимо вы­черчивать в зонах изгиба. На таких участках количество точек для вычерчивания графика должно быть значительно больше, чем на плавных участках.

Рис. 7. Форма графика в зависимости от масштаба:

1 – плоская; 2 – уширенная; 3 – нормальная

В некоторых случаях строят номограммы, существенно облегчающие применение для систематических расчетов сложных теоретических или эмпирических формул в определенных пределах измерения величин. Номограммы могут отражать алгебраические выражения, и тогда сложные математические выражения можно решать сравнительно просто графическими методами. Построение номограмм – операция трудоемкая. Однако, будучи раз построенной, номограмма может быть использована для нахождения любой из переменных, входящих в номограммированное уравнение. Применение ЭВМ существенно снижает трудоемкость номограммирования. Существует несколько методов построения номограмм. Для этого применяют равномерные или неравномерные координатные сетки. В системе прямоугольных координат функции в боль­шинстве случаев имеют криволинейную форму. Это увеличивает трудоемкость построения номограмм, поскольку требуется большое количество точек для нанесения одной кривой.

В полулогарифмических или логарифмических координатных сетках функции часто имеют прямолинейную форму, и составление номограмм упрощается.

Методика построения номограмм функции одной переменной у = f(х) или многих у = f (х₁, х₂,..., x_п) сводится к построению кривых или их семейств путем принятия постоянными отдельных переменных. Сложные алгебраические выражения целесообразно сводить к простому произведению двух-трех значений, например d = abc, где а, b, с - функции двух или трех переменных. В этом случае необходимо вначале, задавшись переменными, вычислить а, b, с. Далее, придавая им постоянные значения, найти d. Величины а, b, с необходимо варьировать в определенных значениях, например от 0 до 100 через 5 или 10. Наиболее эффективным является такой способ построения номограмм, при котором а, b, с представляются как безразмерные критерии.