Вращательное движение твердых тел

1. Момент инерции материальной точки массой m относительно произвольной оси

где r – расстояние от точки до оси.

2. Момент инерции механической системы, состоящей из n материальных точек, относительно произвольной оси равен сумме произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси

где m_i – масса i -ой материальной точки.

3. Момент инерции тела массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) полого тонкостенного цилиндра (обруча) относительно оси цилиндра (для обруча относительно оси, перпендикулярной его плоскости)

где R – радиус цилиндра (обруча);

б) сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

где R – радиус цилиндра (диска);

в) однородного шара радиусом R

;

г) однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему:

где l – длина стержня.

4. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I ₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями

5. Моментом силы относительно некоторой точки O называют векторную величину , которая определяется выражением:

где

– радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы; [

] – векторное произведение векторов

Вектор

перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы

. Направление вектора

определяют по правилу правого винта: вектор

направлен в сторону поступательного движения острия правого винта, головка которого вращается по кратчайшему пути от первого множителя ко второму.

Векторы, перпендикулярные плоскости рисунка, изображают кружком с крестиком, если вектор направлен от нас за плоскость рисунка, и кружком с точкой в его центре, если вектор направлен на нас от плоскости рисунка. В соот-
ветствии с этим правилом вектор

изображен на рис. 4 кружком с вписан- Рис.4

ным в него крестиком.

Числовое значение вектора равно

где – угол между направлениями векторов и .

6. Моментом силы относительно оси z называют параллельную этой оси составляющую момента силы относительно точки О (лежащей на оси)

[ ] _z.

7. Момент импульса материальной точки относительно точки О (рис. 5)

= [ ] = m [ ],

где – радиус-вектор, проведенный из точки О в ту точку пространства, где находится материальная точка массой m; – импульс точки.

Числовое значение момента импульса

где – угол между векторами и .

8. Моментом импульса относительно оси z называют составляющую по этой оси момента импульса относительно точки О, лежащей на оси:

= [ ] _z.

9. Проекция вектора момента импульса твердого тела (материальной точки) на ось z

где – проекция вектора угловой скорости на ось z; I _z – момент инерции тела относительно оси z.

10. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Учитывая, что , уравнение динамики вращательного движения можно записать так:

где – проекция вектора углового ускорения на ось вращения.

Уравнения для твердого тела справедливы и для системы тел, если считать, что момент импульса системы тел (материальных точек) , а сумма моментов всех внешних сил .

11. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой механической системы с течением времени не изменяется

Пример 5. Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения невесомой нерастяжимой нити, к концам которой подвешены грузы массами m ₁ = 0,3 кг и m ₂ = 0,7кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока.

Дано: m = 0,4кг; m ₁ = 0,3 кг; m ₂ = 0,7кг; g = 9,81 м/с².

Найти: Т ₁; Т ₂.

Решение. Изобразим рисунок и укажем силы, действующие на грузы и блок. На каждый из грузов действуют две силы: сила тяжести

и сила натяжения нити

. Так как m ₁ < m ₂, то первый груз будет подниматься вверх, а второй – опускаться вниз. Диск будет вращаться по часовой стрелке.

Из условия нерастяжимости нити следует, что грузы будут двигаться с одинаковым ускорением a. Запишем ура-внение второго закона Ньютона для первого и второго грузов в векторной форме

; .

Рис.6

Запишем эти уравнения в проекциях на ось y

; .

Тогда

. (1)

Со стороны нити на диск действуют силы натяжения и . Вращающий момент, создаваемый этими силами относительно оси z, проходящей через центр диска и направленной перпендикулярно плоскости рисунка от нас:

где R – радиус диска.

Так как нить по условию задачи невесомая, то ; . Тогда

Запишем уравнение динамики вращательного движения для диска

Так как , , то, делая подстановку, можем записать

; .

Подставив выражения (1), определяющие Т ₁ и Т ₂, после несложных преобразований получим

Подставим числовые значения

м/с².

Найдем значения Т ₁ и Т ₂:

Н;

Н.

Ответ: Т ₁ = 3,9 Н; Т ₂ = 4,6 Н.

Пример 6. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вдоль оси вращения скамейки (вертикально). Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой . Радиус R колеса равен 20 см, его масса m = 3 кг. Определить частоту вращения скамьи n, если человек повернет стержень на угол 180°. Суммарный момент инерции человека и скамьи I = 6 кг×м². Масса колеса равномерно распределена по ободу.

Дано: ; R = 0,2 м; m = 3 кг; кг×м²; α= 180⁰.

Найти: n.

Решение. Согласно условию задачи момент внешних сил относительно оси вращения z можно считать равным нулю. В этом случае проекция вектора момента импульса всей системы (рис.7) на ось z изменяться не будет (закон сохранения момента импульса).

а) б)

Рис.7

Запишем закон сохранения момента импульса в проекциях на ось z, учитывая, что в начальный момент времени скамья и человек были неподвижны:

или , (1)

где проекция вектора момента импульса колеса на ось z в начальный момент времени; – момент инерции колеса относительно оси z; – угловая скорость колеса; – проекция вектора момента импульса скамьи и человека на ось z после того, как человек повернул стержень; – угловая скорость скамьи; – проекция вектора момента импульса колеса на ось z после того, как человек повернул стержень.

Из уравнения (1) выразим ω:

. (2)

Момент инерции колеса, с массой равномерно распределенной по ободу, . Так как , , то, делая подстановку в уравнение (2) и произведя сокращения, получим

Подставим числовые значения и выполним вычисления

Ответ: .

ТЯГОТЕНИЕ

1. Закон всемирного тяготения

где F – сила взаимного притяжения двух материальных точек массами и ; r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.

Это уравнение справедливо также для взаимодействующих тел, представляющих собой однородные шары. В этом случае r – расстояние между центрами масс шаров.

2. Напряженность гравитационного поля

где – сила, действующая на материальную точку массой в данной точке гравитационного поля.

Напряженность гравитационного поля вблизи поверхности Земли приближенно равна ускорению свободного падения.

3. Сила тяжести

где – ускорение свободного падения.

4. Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения действует на опору или подвес.

5. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами и , находящихся на расстоянии r друг от друга:

6. Потенциал гравитационного поля

где – потенциальная энергия материальной точки массой , помещенной в данную точку поля.

7. Первой космической скоростью называют такую минимальную скорость, которую следует сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.

8. Второй космический скоростью называют такую наименьшую скорость, которую следует сообщить телу, чтобы оно могло без воздействия каких-либо дополнительных сил преодолеть земное притяжение и превратиться в искусственный спутник Солнца.

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

1. Работа силы на пути

где α – угол между направлением силы и направлением движения точки приложения силы.

В случае постоянной силы , действующей под углом α к перемещению:

2. Мгновенная мощность

где – скалярное произведение векторов и ; α – угол между векторами и .

3. Кинетическая энергия тела массой m, движущегося поступательно со скоростью υ:

4. Потенциальная энергия тела массой , поднятого на высоту над поверхностью Земли:

где h – высота, отсчитываемая от нулевого уровня, для которого .

Эта формула справедлива при условии , где – радиус Земли.

5. Сила упругости

где – коэффициент упругости (в случае пружины – жёсткость); – величина деформации.

6. Потенциальная энергия упругодеформированного тела (пружины)

7. Кинетическая энергия тела массой , вращающегося относительно оси z:

где – момент инерции тела относительно оси вращения; – проекция вектора угловой скорости на ось z.

8. Кинетическая энергия тела, участвующего в поступательном и вращательном движениях:

где υ – скорость центра масс тела; – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

9. Работа внешних сил при вращении твердого тела

где – проекция результирующего момента приложенных к телу внешних сил на ось z; – угол, на который поворачивается тело за время .

10. Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия с течением времени не изменяется

Пример 7. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой = 30 кг. Определить работу , которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения у поверхности Земли и её радиус считать известными.

Дано: = 30 кг; = 9,81 м/с²; = 6,37×10⁶ м.

Найти: .

Решение. Механическую систему Земля-метеорит можно считать замкнутой. Со стороны Земли на метеорит действует сила тяготения. Это сила консервативная, поэтому при движении метеорита в поле тяготения Земли его механическая энергия изменяться не будет.

Так как метеорит был бесконечно далеко удален от Земли, то его потенциальная энергия в начальный момент времени была равна нулю

где – гравитационная постоянная; – масса метеорита; – масса Земли; – расстояние от центра масс Земли до метеорита.

Если , то . Потенциальная энергия метеорита вблизи поверхности Земли

где – радиус Земли.

В соответствии с законом сохранения механической энергии

где – кинетические энергии метеорита в начальный момент времени и вблизи поверхности Земли.

По мере приближения к Земле потенциальная энергия метеорита будет убывать, а его кинетическая энергия – увеличиваться. При движении метеорита в гравитационном поле Земли сила тяготения совершает работу. Эта работа идет на увеличение кинетической энергии метеорита и совершается за счет убыли его потенциальной энергии

. (1)

На метеорит вблизи поверхности Земли действует сила тяготения

Если пренебречь суточным вращением Земли, то в соответствии со вторым законом Ньютона , тогда . Делая подстановку в уравнение (1), получим .

Выполним вычисления

Ответ: .

Пример 8. Диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости. Найти линейную скорость υ центра масс диска у основания наклонной плоскости, если ее высота h равна 0,5 м, начальная скорость движения диска υ ₀ равна нулю, угол α, который плоскость составляет с горизонтом, равен 30°. Сколько времени будет скатываться диск?

Дано h = 0,5 м; υ ₀ = 0 м/с; α = 30⁰; м/с².

Найти: υ; t.

Решение. В начальный момент времени кинетическая энергия диска равна нулю, а его потенциальная энергия

где – масса диска; – ускорение свободного падения.

Рис.8

У основания наклонной плоскости потенциальная энергия диска равна нулю, а его кинетическая энергия

где – кинетическая энергия поступательного движения; – кинетическая энергия вращательного движения; – момент инерции диска относительно его геометрической оси (ось, проходящая через центр масс диска перпендикулярно плоскости рисунка); – угловая скорость диска относительно его геометрической оси.

Так как ; , где – радиус диска, то . Тогда

В соответствии с законом сохранения механической энергии

Делая подстановку, запишем .

Найдем скорость диска у основания наклонной плоскости

Подставив числовые значения, получим

м/с.

На диск во время движения действуют постоянные по величине силы. Следовательно, диск будет двигаться с постоянным по модулю ускорением а. В этом случае

; (1)

, (2)

где – длина наклонной плоскости.

Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем время скатывания

Выполним вычисления

Ответ: υ м/с; с.

Пример 9. Пружина жесткостью сжата силой . Определить работу внешней силы, дополнительно сжимающей пружину еще на .

Дано: ; ; = 2 см = 0,02 м.

Найти: .

Решение. Пусть внешняя сила сжимает пружину на величину . В соответствии с законом Гука . Так как , то потенциальная энергия пружины в этом состоянии

Потенциальная энергия пружины, сжатой на величину ():

Работа, совершаемая внешней силой при сжатии пружины, идет на увеличение ее потенциальной энергии. В соответствии с законом сохранения механической энергии

Подставим числовые значения

Ответ: .

Пример 10. Якорь двигателя вращается с частотой . Определить вращающий момент , если двигатель развивает мощность .

Дано: ; .

Найти: .

Решение. При повороте якоря на угол вращающий момент совершает работу

где – проекция вектора момента силы на ось вращения z.

Мощность двигателя

где – угловая скорость якоря.

Найдем вращающий момент: . Выполним проверку размерности

Выполним вычисления

Ответ: .

Пример 11. Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси, зависит от угла поворота по закону . При этом вращающий момент . Найти значение n.