Структура билета: 2 теор. вопроса и 2 задачи из практики

 

1. (Л1) Докажите лемму о том, что количество перестановок равно n!.

2. (Л2) Докажите свойство: Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов, то данный определитель равен сумме двух определителей:

= + .

3. (Л2) Докажите свойство: Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, не изменится.

4. (Л2) Докажите, что обратная матрица существует тогда и только тогда, когда А невырожденная.

5. (Л2) Докажите, что если матрица треугольная, то .

6. (Л2) Докажите, что если и , то .

Знать определения из лекции 3: что такое ранг матрицы; линейная комбинация; линейно-зависимая и линейно-независимая система векторов, базис и ранг системы векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведение, метод вычисления векторного и смешанного произведений с помощью определителя. Основная и расширенная матрица системы линейных уравнений. Однородная и неоднородная системы, совместная и несовместная, определённая и неопределённая.

Формулировка теоремы Кронекера-Капелли (система совместна ранг основной матрицы равен рангу расширенной).

7. (Л3) Докажите теорему: Система линейно зависима хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.

8. (Л4) Доказательство формул Крамера.

9. (Л4) Доказательство теоремы о наложении решений.

10. (Л4) Доказать теорему: Линейная комбинация решений однородной системы тоже есть решение.

11. (Л4) Доказать теорему: Сумма решений неоднородной и соответствующей однородной системы есть решение неоднородной системы.

12. (Л5) Доказать теорему: Линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же числу , тоже является собственным вектором, соответствующим .

13.(Л5) Доказать теорему: Любые два собственных вектора, соответствующих различным собственным числам, образуют ЛНС (линейно-независимую систему).

14.(Л5) Доказать теорему: Если является собственным вектором линейного оператора , соответствующим , то он также является собственным и для обратного оператора , и соответствует числу .

15.(Л5) Доказать теорему: Число является собственным для линейного оператора, заданного матрицей , тогда и только тогда, когда .

16.(Л5) Доказать теорему: Если базис состоит из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе диагональна.

17.(Л5) Доказать теорему: Матрица А симметрична (то есть ) выполняется свойство (Ax,y) = (x,Ay).

18. (Л5) Доказать теорему: Собственные векторы симметрического оператора, соответствующие разным , ортогональны.

Что такое билинейная форма, квадратичная форма, привести какой-либо пример квадратичной формы и её матрицы.

19. (Л6) Вывести уравнение прямой (либо уравнение плоскости - на ваш выбор) по точке и нормали. Доказать при этом, что координаты нормали будут коэффициентами в этом уравнении.

20. (Л6) Вывести уравнение прямой по точке и направляющему вектору (либо уравнение плоскости по точке и 2 направляющим).

21. (Л6) Вывести формулу проекции вектора на ось.

22. (Л6) Вывести формулу расстояния от точки до прямой в плоскости (либо от точки до плоскости в пространстве - на ваш выбор).

 

 

Литература.

 

1. Л.И.Магазинников, А.Л. Магазинникова.

Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2244

 

2. Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинников.

Дифференциальное исчисление. Учебное пособие http://edu.tusur.ru/publications/2246

 

3. Магазинников Л.И. Высшая математика I. Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии: Учебное пособие Томск: ТУСУР, 2007. - 162 с.

 

Все учебные пособия кафедры математики можно найти на сайте кафедры по ссылке: http://math.tusur.ru/book.html