Пересечение прямой с плоскостью

Прямая, пересекающая плоскость, имеет с этой плоскостью одну общую точку, которая называется точкой встречи прямой с плоскостью.

Чтобы найти точку встречи прямой АВ с заданной плоскостью Р проведем через эту прямую АВ вспомогательную плоскость R и построим линию пересечения MN этой плоскости R с заданной плоскостью Р (рис. 49).

Рис. 49

Прямые АВ и MN пересекаются в точке К, т.к. лежат в одной плоскости R; в то же время точка К может рассматриваться как точка встречи прямой АВ с заданной плоскостью Р.

Таким образом для построения точки встречи заданной прямой АВ с какой-нибудь плоскостью Р необходимо:

1. Через данную прямую АВ провести вспомогательную проецирующую плоскость R: например, горизонтально-проецирующую (см. рис. 43).

2. Построить линию пересечения MN заданной плоскости Р со вспомогательной горизонтально-проектирующей плоскостью R.

3. Найти искомую точку встречи К на пересечении заданной прямой АВ с линией MN.

Такая последовательность решения задачи на построение точки встречи прямой с плоскостью позволяет пространственную задачу свести к задаче плоскостной: мы находим точку пересечения двух прямых АВ и MN, лежащих в одной плоскости R (рис. 49).

Рис. 50 Рис. 51

Рассмотрим построение точки встречи прямой с плоскостью в этой последовательности на ортогональном чертеже (рис. 50):

– через данную прямую проводим дополнительную горизонтально-проектирующую плоскость , поэтому горизонтальный её след (см. рис. 17 и 18) проходит через горизонтальную проекцию нашей прямой (рис. 51).

– теперь строим линию пересечения плоскостей P и R (рис. 52)[7].

Рис. 52 Рис. 53

– и, наконец, находим сначала фронтальную проекцию искомой точки K на пересечении фронтальных проекций прямой АВ и линии пересечения плоскостей Р и R, а затем и горизонтальную её проекцию на горизонтальной проекции ab прямой АВ, проводя линию проекционной связи через точку перпендикулярно к оси ОХ (рис. 53).

При нахождении точки встречи прямой с горизонтально проектирующей (или фронтально-проектирующей) плоскостью решение задачи значительно упрощается[8].

Покажем это на примере: найдем точку встречи прямой с горизонтально-проектирующей плоскостью (см. рис. 54).

Рис. 54 Рис. 55

Точка встречи К прямой АВ с плоскостью Р – это точка, общая для прямой и плоскости. Поскольку эта точка лежит на прямой АВ, её горизонтальная проекция k должна лежать на горизонтальной проекции ab прямой АВ. Поскольку же эта точка лежит и в горизонтально-проектирующей плоскости Р, то её горизонтальная проекция k должна лежать на горизонтальном следе этой плоскости .

Следовательно, горизонтальная проекция k искомой точки определяется на пресечении горизонтальной проекции ab прямой с горизонтальным следом (рис. 55).

Фронтальная проекция точки встречи К определяется на фронтальной проекции прямой линией проекционной связи вверх от точки (см. рис. 55).