Пример1. Даны матрицы , числа и .
Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , если
Решение. 1) Убеждаемся в том, что произведение матриц и определено. Действительно, так как указанные матрицы квадратные одного порядка, то произведение и существует. Найдем это произведение:
2) Вычислим линейную комбинацию матриц . Воспользуемся правилом умножения матрицы на число и правилом вычитания матриц:
3) Найдем матрицу выражения . Для этого определим матрицу каждого слагаемого, используя определение степени матрицы:
4) Убеждаемся в том, что для матрицы существует обратная матрица. Для этого вычислим определитель
.
Обратная матрица существует, так как . Её находим методом присоединенной матрицы. Для этого определяем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы:
Матрица , присоединенная к матрице , имеет вид
Обратную матрицу находим по формуле , согласно которой
Убеждаемся в правильности нахождения обратной матрицы. Для этого проверяем равенство . Действительно,
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений