Б) Метод последовательного исключения неизвестных

(метод Гаусса)

Этот метод является одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Он основан на элементарных преобразованиях системы уравнений, в результате которых получается более простая для разрешимости система, равносильная исходной системе.

Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:

1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

3) перемена местами двух уравнений в системе.

Если после указанных преобразований в системе появится уравнение, все коэффициенты которого и свободный член равны нулю, то оно может быть отброшено, поскольку такому уравнению удовлетворяют любые значения неизвестных. В этом случае мы получим систему, равносильную данной и содержащую на одно уравнение меньше, чем данная система.

Если в результате применения элементарных преобразований в системе появится уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то это указывает на то, что уравнение не удовлетворяется никакими значениями неизвестных, и поэтому полученная система уравнений, равно как и эквивалентная ей исходная система, будет несовместимой.

Если же в процессе преобразования системы этого уравнения не встретим, то система будет совместной. При этом система будет определенной, имеющей единственное решение, если она приведена к треугольному виду (число уравнений равно числу неизвестных) и неопределенной, имеющей бесчисленное множество решений, – если к трапецеидальному виду (число уравнений меньше числа неизвестных). Пример. Решить систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования по схеме Гаусса:

Мы последовательно произвели следующие преобразования:

1) ко второй и третьей строке прибавили первую строку;

2) из третьей строки вычли вторую строку, умноженную на шесть;

3) разделили третью строку на (-14), а первую на 3.

Последней матрице соответствует система уравнений:

Осуществляем обратный ход метода Гаусса. Из последнего уравнения находим . Подставим это значение во второе уравнение и найдем . Далее, в первое уравнение подставляем значения найденных неизвестных и получим .

Ответ: