Основные правила дифференцирования

1. 2. , в частности, 3. , где

Задача. Найти производные следующих функций:

а) ; б) .

Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим

.

Используя правило дифференцирования произведения и суммы находим =

= .

б) Проведем предварительное преобразование функции:

= .

Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим

=

= .

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Неопределенным интегралом называется выражение , где , а - произвольная константа, т.е.

= .

Замена переменных в неопределенном интеграле

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменных. Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией

. (1)

Сделаем замену переменных, положив

(2)

где функция удовлетворяет следующим двум условиям:

1) - непрерывная функция;

2) - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию, тогда .

Задача 1. Найти неопределенный интеграл .

Решение: Положим, Дифференцируя это равенство, получим:

Но тогда .

Задача 2. Найти неопределенный интеграл

РHHешение: оложим Такая замена очень естественна, так как, учитывая, что , наш интеграл можно записать в следующем порядке:

Итак,

Тогда