1. 2. , в частности, 3. , где
Задача. Найти производные следующих функций:
а) ; б) .
Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим
.
Используя правило дифференцирования произведения и суммы находим =
= .
б) Проведем предварительное преобразование функции:
= .
Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим
=
= .
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Неопределенным интегралом называется выражение , где , а - произвольная константа, т.е.
= .
Замена переменных в неопределенном интеграле
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменных. Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией
. (1)
Сделаем замену переменных, положив
(2)
где функция удовлетворяет следующим двум условиям:
1) - непрерывная функция;
2) - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию, тогда .
Задача 1. Найти неопределенный интеграл .
|
|
Решение: Положим, Дифференцируя это равенство, получим:
Но тогда .
Задача 2. Найти неопределенный интеграл
РHHешение: оложим Такая замена очень естественна, так как, учитывая, что , наш интеграл можно записать в следующем порядке:
Итак,
Тогда