Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Ранг матрицы наз. число равное порядку наибольшего минора из порядка данной матрицы, отличной от нуля. Свойства: rangA; r(A)

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг не меняется
3. Ранг матрицы не изменяется при элемен. преобразованиях матрицы.
4. Ранг канонич. матрицы равен числу единиц на главной диагонали

пример:

Ранг матрицы — это наибольшее число ее линейно независимых строк.

План действий: необх. привести к ступен. виду, далее найти det, если ∆≠0, то ранг найден, если ∆=0, то нужно найти наим. алгеб. допол.

пример: 0*3+4=4≠0 rang A=2

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка формула, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется. k≤min(m,n)

Число миноров порядка k может быть вычислено как ,
где - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебр. уравнений (СЛАУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Если ранг совестной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

пример:

Таким образом, r(A)≠r(Ā), следовательно, система несовместна

9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектор.
Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.

Прямоугольная система координат в пространстве устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точкой и пространства и упорядочивается тройкой чисел.
оси: Ох – абсцисса; Оy – ордината; Ох – апликат;
Вектор – это направленный прямолинейный отрезок.
Виды: коллинеарные (), равные (| A | = | B |, , одинак. направ.), компланарные (aϵφ, bϵφ или aϵφ, bϵβ, β||φ).
латынь: ко – со; планер – плоскость; линеал – прямые проекция вектора на ось

Проекция вектора AB на ось l назыв. отрезок A₁B₁ взятый со знаком плюс, если вектор совпад. с направлением осью, и минус если нет. Проекции вектора на ось положительны (отриц), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, этот угол – прямой. Проекции векторов на одну и ту же ось равны между собой. Направляющими косинусами вектора а=(x;y;z) наз. косинусы углов α, β, γ, образуемых вектором а с осями координат. найдите cosα, где α-угол между вектором а(x,y,z) и единичным вектором (ортой) i=(1;0;0) по формуле: