Поверхность второго порядка

общее ур-ние поверхностей второго порядка в прямоуг. системе координат имеет вид:
Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+5=0
Эллипсоид
-наз. поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат (ДСК) имеет вид:
+ = 1
Рассечём поверхность || xOy сечением z = h (h > 0):
+ = 1 = 1 - * →

+ = 1 + = 1 - эллипс
a₁ b₁

в сечении получаются эллипсы, если:
1) |h| < |c| - эллипс
2) |h| > |c| - мнимые эллипсы (на поверх. не сущ.)
3) |h| = |c| - две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С)
! аналогично для сечений x = h; y = h. В сечении получ. точки, эллипсы и мнимые эллипсы:
Однополостный гипербалоид
-наз. поверхность в некоторой ДСК, имеющая вид:
- = 1 рассечём поверхность || xOy сечением z = h > 0:
a₁ = a ; b₁ = b
h →∞ (h стремится к бесконечности)
a₁ →∞; b₁ →
эллипсы при z = h
при x = h > 0 - = 1 + = 1→ - = 1
b₁ c₁ в сечении получается гиперб.
1) Если |h| < |a| - гипербола
2) Если |h| > |a| - мнимые гиперболы
3) Если |h| = 0 - две прямые y = я
! аналогично, для сечения y = h > 0, в сечении получаются гиперболы
Двухполостный гиперболоид
-наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид:
- = -1
при z = h > 0, если
1) |h| < |с| - мнимые эллипсы
2) |h| > |с| - эллипсы
3) |h| = |с| - две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С)
при x = h и x = h (h>0) гиперболы
Эллиптический параболоид
-наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид:
= z при z = h > 0 = 1 - эллипс
1) Если |h| > 0 - эллипс
2) Если |h| < 0 - мнимый эллипс
3) Если |h| = 0 - точка (0; 0; 0)
при y = h > 0 y² = 2pz - парабола
при x = h > 0 x² = 2pz - парабола
Гиперболический параболоид
-наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид:
= z
при z = h > 0 получ. гиперболы
при x = h > 0 получ. параболы
при y = h > 0 получ. параболы
Конус второго порядка
-наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид:
- = 0
при z = h
z = h > 0 - эллипсы
z = h = 0 - точка (0; 0; 0)
z = h < 0 - эллипсы
при x = h = 0
- = 0 и + = 0 - 2 прямые при y аналогич. как x