Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность

Для любого существует номер, зависящий от эпсилонта, такой, что для всех членов последовательности с номерами больше, чем этот номер выполняется неравенство , .

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, при этом все арифметические действия производятся только со сходящимися последовательностями.

Теорема1: сходящиеся последовательности имеют единственный предел)

Док-во: Пусть имеет предел b≠a,

окрестности не имеют общих точек, тогда по определению предела в эпсилон окрестности точки А содержится бесконечно много членов последовательности , а вне этой окрестности конечное число членов, тогда точка В не может быть пределом последовательности.

Теорема 2: сходящаяся последовательность ограничена.

Док-во: Из определения последовательности, можно записать ,

. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то

, тогда

Положим , , т.е. последов-ность ограничена.

3.Бесконечно-большие и бесконечно-малые последовательности. Теоремы о сумме (разности), произведении и частном двух сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Число ℮. Предел функции. Теоремы о пределах функции.

Последовательность

наз. бесконечно большой, если

справедливо

Последовательность

называется бесконечно малой, если

справедливо

Теорема 1: Если бесконечно большая, то является бесконечно малой и наоборот, если бесконечно малая, то бесконечно большая.

Док-во: Пусть бесконечно большая,
т.е. и . , тогда , ,, .

- бесконечно большая; - бесконечно малая.

Теорема 2: Если последовательность и бесконечно малые, то

, бесконечно малая ( ).

Док-во:

; , ;

- бесконечно малая.

Теорема 3: Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. () Док-во:

;

, ,

– бесконечно малая последовательность.

Теорема 4: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая. (

Док-во: – ограниченная; ,

– бесконечно малая;

; , – бесконечно малая послед-ость.

Следствие: Если имеет предел равный А, то это означает, что -бесконечно малая последовательность.

Справедливо и обратное: Если -бесконечно малая последовательность, то имеет предел равный А.

Теорема о сумме (разности): Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен сумме (разносте) пределов этих последовательностей. ()

Док-во: - бесконечно малая; - бесконечно малая

; , тогда и

Теорема о произведении: Произведение двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен произведению пределов этих последовательностей. 0 Док-во: и

Бесконечно малая

– бесконечно малая, тогда .

Теорема о частном: частное двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен частному пределов этих последовательностей. Док-во: аналогично двум предыдущим!

Предельный переход к неравенствам:

Теорема 1: Если все члены последовательности удолетворяют неравенству , то предел последовательности a ≥b.

Теорема 2 (теорема о двух полицейских – о сжатой переменной): Если последовательности , и , и удовлетворяют .

Монотонные последовательности:

послед-ость возврстающая 2.

послед-ость неубывающая

послед-ость убывающая 4.

послед-ость невозврста-ая

!Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Число e: (неперовое число)

, ; ; …; ;…. .

Предел f(x) определена в некоторой окрестности точки, за исключением только если самой точки.

1. По Гейне: Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой последовательности сходящийся к , последовательность значений функции сходится к А. (

2. По Каши: Число А называется пределом функции .

Односторонним предел: Число А называется пределом функции f(x) справа при , если , такое что , то .(: Число А называется пределом функции f(x) слева при , если , такое что , то . ()