Общие уравнения прямой в пространстве

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

Каноническое уравнение прямой:

Векторное уравнение прямой: r=r_o+tS L||S
t- скалярный множитель (параметр)
tS=M_oM

20. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Условие параллельности прямых: q̅1 (l1, m1, p1), q̅2 (l2, m2, p2) = = Условие перпендикулярности прямых: q̅1; q̅2 l1 * l2 + m1 * m2 + p1 * p2 = 0 Условие параллельности плоскостей: n̅1 (A1; B1; C1); n̅2 (A2; B2; C2)	Условие перпендикулярности плоскостей: n̅1; n̅2 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 Условие параллельности прямой и плоскости: q̅ (l, m, p); n̅ (A; B; C) Al + Bm + Cp = 0 Условие перпендикулярности прямой и плоскости: q̅; n̅
Синус угла между прямой и плоскостью:
L: ; Q: Ax + By + Cz + D = 0 sinɸ =	n̅ = (A; B; C) S̅ = (l; m; n) ɸ - угол между плоскостями Q и L

21. Линии второго порядка
Общее ур-ние линий второго порядка имеет вид:
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Dy + F = 0, где A, B, C, D, E, F - коэфф., прин. R
В зависимости от коф-та линии второго порядка разделяются на окружности, элипсы, гиперболы и параболы.
Окружность при А=С.
- это множество всех равноудалённых точек
M₀ (x₀; y₀)
M (x; y) (x - x₀)² + (y - y₀)² = R²
x² + y² - 2x₀x - 2y₀y + x₀² + y₀² - R² = 0
B = 0; A = C

Эллипс при A * C > 0

- наз. множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до 2 данных точек называется фокусом, есть величина постоянная.
F₁ (-C; 0) |F₁M| + |F₂M| = 2a
F₂ (C; 0) |F₁M| = фокальные
M (x; y) |F₂M| = радиусы
= 2a
(после действий над ур-ниями получаем)
= 1 b² = a² - c^{2 →} = 1

Форма элипса зависит от отношения (b = a элипс превр. в окр.)
E = - эксцентриситет элипса (E - эпсилон) 0 < E < 1
r₁ = A + Ex и r₂ = a – Ex; x = ± - директрисы элипса; r - либо , либо = E

Гипербола при А * С < 0
наз. множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух равных точек наз. фокусами, есть величина постоянная.
M (x; y) | |F₁M| - |F₂M| | = 2a
F₁ (-C; 0) |F₁M| =
F₂ (C; 0) |F₂M| =
После возвед. выражения в квадрат и сделав пробразования, получим: = 1 каноническое ур-ние, при b² = c² - a²
O (0; 0) - центр гиперболы
A₁ (a; 0) и A₂ (-a; 0) - вершины гип.
|A₁A₂| = 2a - действит. ось
|OA₁| = |OA₂| = a - действит. полуось
B₁ (0; b) и B₂ (0; - b) - мнимая ось
|OB₁| = |OB₂| - мнимая полуось
прямоуг. со сторонами 2a и 2b
над основным прямоуг. гиперболы
y = ± x - это асимптоты
E = - эксцентриситет гиперболы (E > 1)
x = ± - директрисы гиперболы
= 1 и - сопряжённые

Парабола при A * C = 0
наз. множество всех точек плоскости, которые равно отдалены от точки назыв. фокусом и прямой назыв. директрисой, которое не проходит через фокус.
M (x; y) по определ. |MP| = |FM| E = 1
F (; 0) =
P (- y² = 2 px
каноническое ур-ние

y²=-2px x²=2py x²=-2py