Для устранения недостатков статистики Дарбина-Уотсона Бреуш (Breusch) и Годфри (Godfrey) разработали общий тест для обнаружения автокорреляции, который может применяться для высоких порядков авторегрессии случайных отклонений.
Тест Бреуша-Годфри работает следующим образом.
Предположим, что остатки модели подчиняются авторегрессионной схеме порядка p, AR (p), т.е.:
где – коэффициент автокорреляции остатков
где – остатки по линейной регрессионной модели, построенной по временным рядам ;U, – независимые случайные величины.
Как видим, в этом критерии рассматривается автокорреляция остатков к-го порядка в отличие от автокорреляции первого порядка, оцениваемой критерием Дарбина – Уотсона. В тесте Бреуша – Годфри проверяется нулевая гипотеза:
Нулевая гипотеза подразумевает отсутствие серийной корреляции какого-либо порядка.
Если эта гипотеза верна, то при большом количестве наблюдений (п) статистика критерия (где – коэффициент детерминации по модели регрессии для остатков) имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат с p степенями свободы. Нулевая гипотеза отвергается, если вычисленное значение riR 2 превышает критическое (табличное) значение при заданном уровне значимости а, т.е. если имеем соотношение (в скобках не К, а р, котоая индексом раньше шла)
При р = 1 тест Бреуша – Годфри оценивает автокорреляцию остатков первого порядка и поэтому сопоставим с критерием Дарбина – Уотсона. Выводы по этим критериям практически не расходятся.
Алгоритм теста следующий:
1. Оценить исходную регрессионную модель и получить остатки et;
2. Построить и оценить регрессию et на все регрессоры исходной модели, а также случайные отклонения периодов t-1, t-2, …, t-p:
Если превосходит критическое значение хи-квадрат распределения на выбранном уровне значимости, то отвергается нулевая гипотеза.