Конечно-разностные формы решения уравнений движения жидкости

Разностной схемой решения краевой задачи называют совокупность разностных уравнений, заменяющих данные дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия. Одним из способов аппроксимации дифференциальных уравнений разностными заключается в следующем. При помощи системы пересекающихся линий в рассматриваемой области вводится разностная сетка – совокупность узлов (точек пересечения линий), в которых отыскивается приближенное решение. Затем выбирается сеточная конфигурация – группа узлов, которые привлекаются для локальной аппроксимации дифференциальных уравнений. После этого каждая из производных, входящих в уравнение, заменяется отношением разности значений функции в узлах выбранной конфигурации к разности соответствующих значений аргумента.

Например, рассмотрим т.н. задачу Коши для переноса

Введем в плоскости (x,t) сетку из параллельных прямых

и будем конструировать разностную схему при помощи трехточечной конфигурации (рис. 1 - 9).

Занумеруем узлы сетки парами целых чисел (k,n) и примем обозначение f(kΔx,nΔt)= . Для замены производных в узле (k,n) воспользуемся разностными отношениями

Коэффициент a(x,t) будем брать в узле (k,n). В результате замены получаем разностную схему:

Мы познакомились в первом приближении с порядком составления разностных схем. В практике решения различных задач используется множество разностных схем и способов их решения. Эти задачи решают специалисты механики (теоретики) и математики. Практики - строители должны уметь находить уже реализованные на ЭВМ нужные решения и применять их в своей практической деятельности.