Действия над матрицами. Одноразмерные матрицы можно складывать

Одноразмерные матрицы можно складывать.

Алгебраической суммой двух матриц A_m_´_n=(a_ij) и B_m_´_n=(b_ij) называется матрица C_m_´_n=(c_ij)такая, что c_ij= a_ij+ b_ij (i=1,2..m, j=1,2…n)

Пример:

А= В=

С=А+В=

Операция сложения одноразмерных матриц обладает следующими свойствами:

-коммутативность (переместительный закон) А+В=В+А

-ассоциативность (сочетательный закон)

(А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С

- А+ 0 =А

Произведением матрицы A_m_´_n=(a_ij) на число k называется матрица

B_m_´_n=(b_ij) такая, что b_ij= ka_ij(i=1,2..m, j=1,2…n). Т.е. Произведением числа k на матрицу А называется матрица, определяемая равенством:

k =

Пример:

А= , число k=2, 2А=

Матрица (–А), все элементы которой получены путем умножения соответствующих элементов матрицы А на (-1) называется матрицей противоположной А.

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

- 1×А=А

- k×(А+В)=k×А+k×В

-(a+b)×А=a×А+b×А

-(ab)×А=a×(bА)

- А+(- А)= 0

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы A_m_´_n=(a_ij) на матрицу В_n_´_p=(b_jk) называется матрица С_m_´_p=(c_ik) такая, что c_ik=a_i₁×b₁_k+a_i₂×b₂_k+…+a_in×b_nk, где i=1,2..m, k=1,2,..

…p, т.е. элемент i-й строки и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.

Иными словами: Произведение двух матриц А и В обозначается символом АВ и определяется равенством:

AB = =

Пример: А= В= С=А×В=

с₁₁=3×5+1×(-2)+2×(-2)=9

с₁₂=3×1+1×3+2×2=10

с₁₃=3×0+1×1+2×0=1

с₂₁=-1×5+0×(-2)+7×(-2)=-19

с₂₂=-1×1+0×3+7×2=13

с₂₃=-1×0+0×1+7×0=0

Если матрицы А и В - квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

- АВ¹ВА, если данное равенство выполняется, то матрицы А и В называют перестановочными (обладают свойством коммутации);

- А×(В×С)= (А×В)×С (ассоциативность);

- А×(В+С)=АВ+АС (дистрибутивность умножения относительно сложения);

- А×Е=А

- a×(АВ)= (a×А)В.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строк столбцами с с сохранением нумерации, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается А^Т (А¢).

Пусть дана матрица А_n_´_m= , тогда

A^Т_m_´_n=

Решение типовых задач

Пример: Вычислить матрицу: D=A×B^T – 2E + C²,

если

Решение:

1. Составим матрицу В^Т, поменяв строки и столбцы матрицы В местами с сохранением нумерации В^Т=

2. Найдем произведение матриц A×B^T

3. Найдем произведение 2×Е=

4. Найдем матрицу С²= С×С

5. Найдем матрицу D=A×B^T – 2E + C², подставив найденные матрицы

Ответ:

Пример: А= . Найдём обратную матрицу для А с помощью элементарных преобразований.

Для этого припишем к матрице А единичную матрицу и будем применять элементарные преобразования к обеим матрицам А и Е так, чтобы на месте матрицы А получить единичную матрицу. Тогда на месте единичной матрицы получится обратная матрица А^-1.