Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан определенный интеграл , где f(x) – непрерывная на отрезке [ a,b ] функция. Допустим, по каким-то соображениям нам желательно ввести новую переменную t, связанную с прежней переменной х соотношением: х=φ (t) (α≤t≤ β), где φ (t) – непрерывно дифференцируемая на отрезке [ a,b ] функция. Если при этом: 1) при изменении t от α до β переменная х меняется от a до b, т.е. φ(α)=а, φ(β) =b; 2) сложная функция f(φ(t)) определена и непрерывна на отрезке [ α,β ], то справедлива формула .

Замечание: При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к прежней переменной, достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования.

Пример. Вычислить .

4. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры.

Формулы для нахождения площади плоской фигуры:

в декартовой системе координат (рис.1) (1)

в полярной системе координат (рис.2)

r=r₁(φ)

r=r₂(φ)

φ=α φ

φ=β

Y=f₁(x)

Y=f₂(x)

Рис. 1.

Рис. 2.

(2)

b=x(T)

a~ t₀

y=xe^-^x

в случае параметрического задания кривой

(3)

1. Найти площадь области, ограниченной графиками функций и y=xe^-^x.

Решение. Строим графики функций и y=xe^-^x в одной системе

координат. При этом график функции y=xe^-^x строим, предварительно проведя ее полное исследование.

Находим точки пересечения кривых

Отсюда

Площадь области находим по формуле (18):

Первый интеграл берется методом интегрирования по частям, второй интеграл табличный (предлагаем выполнить интегрирование самостоятельно). Окончательно (кв. ед.).