Пусть дана линейная система

(4.1)

Выбираем произвольно начальное приближение корней и подставляем в первое уравнение системы (4.1)

,

полученное первое приближение подставляем во второе:

.

Полученные первые приближения х ₁⁽¹⁾ и х ₂⁽¹⁾ подставляем в третье уравнение системы (4.1)

и т. д.

.

Аналогично строим вторые и третьи итерации.

Таким образом, предполагая, что k приближение корней х^k_i известно, по методу Зейделя строим (k + 1) приближение

где k = 0, 1, 2, …, n.

 

 

Пример. Методом Зейделя решим систему:

1. Приведем систему к нормальному виду:

2. За нулевые значения возьмем соответствующие значения свободных членов

.

3. Строим итерации по методу Зейделя

 

Второе приближение

 

И т.д.

 

№итерации
	0,19	0,97	-0,14
	0,2207	1,0703	-0,1915
	0,2354	1,0988	-0,2118
	0,2424	1,1088	-0,2196
	0,2454	1,1124	-0,2226
	0,2467	1,1138	-0,2237
	0,2472	1,1143	-0,2241
	0,2474	1,1145	-0,2243
	0,2475	1,1145	-0,2243

 

Построенный процесс заканчивается, когда с заданной степенью точности получаем одинаковые значения в двух итерациях подряд.

 

;

 

Процесс Зейделя для линейной системы Х = b + aХ также, так и процесс последовательных приближений, сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения, если какая-нибудь из норм матрицы a меньше единицы. То есть

либо

,

либо

.

 

Процесс Зейделя сходится к единственному решению быстрее процесса простой итерации.