Методы определения основной тенденции бытовых услуг на душу населения (10 лет)

Метод скользящей средней

Одним из методов определения тенденции уровня ряда динамики является метод скользящей средней. Для определения скользящей средней формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Вычисляются средние из определенного числа (обычно нечетного), следующих друг за другом уровней ряда динамики. Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня ряда динамики на один уровень.[7]

 

Таблица 8 - Укрупнение интервалов для применения метода скользящей средней

Годы	Величина бытовых услуг на душу населения в сопоставимых ценах 2008 г., руб.	Скользящая средняя по трехлетиям, руб.	Скользящая средняя по пятилетиям, руб.	Скользящая средняя по семилетиям, руб.
	435,97	-	-	-
	507,54	507,50	-	-
	578,99	563,31	580,20	-
	603,39	652,50	674,34	690,18
	775,12	761,72	777,55	802,68
	906,64	901,80	906,45	930,38
	1023,63	1051,24	1066,05	1043,66
	1223,46	1216,17	1185,43	-
	1401,42	1332,29	-	-
	1372,00	-	-	-

 

По характеру изменения скользящей средней возрастание величины бытовых услуг на душу населения проявилось как по трехлетиям, так и по пятилетиям и семилетиям.

В результате применения данного метода получили ряд динамики скользящей средней объема бытовых услуг на душу населения, в котором выявлена тенденция повышения значения показателя.

Изучение основной тенденции развития методом скользящей средней является лишь эмпирическим приемом предварительного анализа. Данный метод может рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов.[13]

 

Метод аналитического выравнивания с осуществлением

Прогноза показателя

 

Аналитическое выравнивание производится на основе теоретического качественного анализа сущности и законов развития данного явления. Выявляются определенные этапы развития и устанавливается характер динамики явления на протяжении этого этапа. Исходя из характера динамики и предположения той или иной закономерности роста, выбирается форма аналитического уравнения, которому графически соответствует определенная линия: прямая, парабола, гипербола и т.д. Это уравнение аналитически выражает предполагаемую закономерность плавного изменения уровней во времени, то есть выражает уровень ряда динамики как функцию от времени. [13]

Если уровни ряда изменяются примерно с постоянной скоростью, то есть с относительно равным абсолютным приростом, то тенденция выражается уравнением прямой: ỹ_t=a+bt. Если рост уровней от периода к периоду происходит с относительно стабильными темпами прироста, то уравнение соответствует уравнению экспоненты: ỹ_t=ab^t. Если цепные абсолютные приросты то увеличиваются, то снижаются с относительно постоянным изменением, то это соответствует уравнению параболы второго порядка: ỹ_t=a+ bt_i+ct_i². [8]

В данной работе будет производиться выравнивание по прямой и по параболе, поэтому рассмотрим эти типы уравнений тренда подробнее.

1. Линейная форма тренда: ỹ_t = a + bt,

где ỹ_t — уровни, освобожденные от колебаний, выравненные по прямой;

а — начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени;

b — среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени); константа тренда.

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяю­щихся различным образом по разным закономерностям. Рав­нодействующая этих факторов при взаимопогашении особен­ностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелиней­ность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, то есть в прямолинейном тренде.

2. Параболическая форма тренда: ỹ_t = a + bt + ct²

где с — квадратический параметр, равный половине ускорения; кон­станта параболического тренда. Остальные обозначения преж­ние.

Параболическая форма тренда выражает ускоренное или замедленное изменение уровней ряда с постоянным ускоре­нием. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного развития. Ускоренное возрастание может про­исходить в период после снятия каких-то сдерживающих раз­витие преград.

Параболическая форма тренда с отрицательным ускоре­нием (с < 0) приводит со временем не только к приостановке роста уровня, но и к его снижению со все большей скоростью.[8]

Предположим, что изменение уровней происходит с относительно постоянным абсолютным приростом и предположительно соответствует уравнению прямой ỹ_t=a+bt.

 

Таблица 9 – Выравнивание по прямой для ряда динамики объёма бытовых услуг на душу населения в Тверской области

 

Годы	Величина бытовых услуг на душу населения в сопоставимых ценах 2008 г., руб.	ti	ti2	yiti	ỹt	(yi-ỹt)2	(ỹt-y̅t)2	(yi-y̅t)2
	435,969	-5		-2179,846	375,49	3657,28	257374,75	199671,06
	507,540	-4		-2030,161	476,96	935,28	164719,84	140831,02
	578,985	-3		-1736,956	578,42	0,32	92654,91	92312,41
	603,390	-2		-1206,780	679,89	5851,71	41179,96	78078,30
	775,123	-1		-775,123	781,35	38,78	10294,99	11597,50
	906,639			906,639	984,28	6027,95	10294,99	567,60
	1023,628			2047,257	1085,74	3858,28	41179,96	19828,41
	1223,458			3670,373	1187,21	1314,06	92654,91	116037,44
	1401,416			5605,664	1288,67	12711,23	164719,84	268947,01
	1372,000			6860,000	1390,14	328,92	257374,75	239301,98
Итого	8828,150			11161,06541	8828,150	34723,81	1132448,92	1167172,73

 

 

руб. – среднегодовой объём бытовых услуг на душу населения;

 

руб. – ежегодный прирост объёма бытовых услуг на душу населения;

 

руб.

 

= 882,815 + 101,46 - уравнение прямой.

Динамика величин бытовых услуг на душу населения в период с 1999 г. по 2008 г. может быть описана данным линейным трендом: = 882,815 + 101,46 .

Поскольку , то можно судить о том, что уравнение прямой для аналитического выравнивания подошло. Среднегодовой объём бытовых услуг на душу населения составил 882,815 рублей, а ежегодный прирост объёма бытовых услуг на душу населения составил 101,46 рублей.

Для изучения вариации уровней ряда динамики вычислим общую, направленную и случайную дисперсии.

 

 

(100%)

 

= (97,0%)

 

(3,0%)

 

Проверка: 113244,89 + 3472,38 = 116717,27

 

Изменение объёма бытовых услуг на душу населения за исследуемый период на 97,0% объясняется влиянием направленных факторов и на 3,0% влиянием случайных факторов.

11344,89/116717,27 = 97,02%

 

На 97,02% динамика показателя объясняется направленными по линейному тренду факторами.

Исходя из случайной дисперсии, можно рассчитать коэффициент колеблемости и коэффициент устойчивости. Случайная дисперсия применяется для расчета средней ошибки S_t:

 

руб.

m- количество параметров (a,b) уравнения, по которому проводим аналитическое выравнивание, m=2.

 

=

 

=100% - 7,4% = 92,6%

Коэффициент устойчивости высокий.

Точечный прогноз производят по тому уравнению, по которому производилось выравнивание. Для 2009 г. t = +6

882,815 + 101,46*6 =1491,575 руб. – точечный прогноз.

Интервальный прогноз связан с вероятностью: к точечному прогнозу добавляется предельная ошибка прогноза .

Если дать гарантию прогноза на 95% и число степеней свободы равное 8, t=2,306

2.306*65,88=166.7 руб.

max 1491,575 +166.7=1658,27 руб.

min 1491,575 -166.7=1324,87 руб.

Таким образом, в 2009 году с вероятностью, равной 90% можно утверждать, что объём бытовых услуг на душу населения будет находиться в пределах от 1324,87 руб. до 1658,27 руб.

 

Предположим, что цепные абсолютные приросты то увеличиваются, то снижаются с относительно постоянным изменением и изменение уровней предположительно соответствует уравнению параболы: ỹ_t=a+ bt_i+ct_i².

Ему соответствует следующая система уравнений:

 

 

a=(8828,15-110c)/10

a=882,815-11c

=110*(882,815-11c)+1958c

=97109,65-1210c+1958c

3044,71=748c

c=4,07

a=882,815-11*4,07=838,04

Получаем уравнение параболы: ỹ_t=a+ bt_i+ct_i².

ỹ_t=838,04+ 101,46t_i+4,07t_i²

Исходя из полученных значений параметров уравнения, можно сделать вывод о том, что за период с 1999 по 2008 гг. среднегодовой объём бытовых услуг на душу населения ежегодно составлял 838,04 рублей, при этом ежегодный рост среднегодового объёма бытовых услуг на душу населения составлял 101,46 рублей, а также наблюдалось ускорение этого прироста в среднем на 4,07 рублей.

Расчетные данные по выравниванию по параболе представлены в таблице 10.

 

Годы	Величина бытовых услуг на душу населения в сопоставимых ценах 2008 г., руб.	ti	ti2	ti3	ti4	yiti	yiti2	ỹt	(yi-ỹt)2	(ỹt-y̅t)2
	435,969	-5		-125		-2179,847	10899,23	432,48	12,17	202801,25
	507,540	-4		-64		-2030,162	8120,65	497,31	104,65	148613,78
	578,985	-3		-27		-1736,956	5210,87	570,28	75,76	97677,27
	603,390	-2		-8		-1206,78	2413,56	651,39	2304,31	53556,02
	775,123	-1		-1		-775,1233	775,12	740,65	1188,68	20212,00
	906,639					906,639	906,64	943,57	1364,21	3691,72
	1023,628					2047,257	4094,51	1057,25	1130,42	30427,63
	1223,458					3670,373	11011,12	1179,07	1970,56	87765,10
	1401,416					5605,664	22422,66	1309,02	8536,23	181654,34
	1372,000					6860,000	34300,00	1447,12	5643,42	318443,20
Итого	8828,150					11161,065	100154,36	8828,15	22330,42	1144842,32

Таблица 10 - Выравнивание по параболе для ряда динамики объёма бытовых услуг на душу населения

Исходя из аналитического выравнивания, можно рассчитать следующие дисперсии:

1) Общую:

 

Д_общ = = 116717,27

2) Направленную:

 

Д_{направл} = = 114484,23

3) Случайную:

 

Д_случ = = 2233,04

Выразим вычисленные дисперсии в процентах:

Д_общ = 100%;

 

Д_{направл} = 98,09%;

 

Д_случ = 1,91%.

Это говорит о том, что изменение объема бытовых услуг на душу населения в Тверской области за исследуемый период (1999-2008гг.) на 98,09% было вызвано влиянием направленных факторов и на 1,91% - влиянием случайных факторов.

Исходя из случайной дисперсии, можно рассчитать коэффициент колеблемости и коэффициент устойчивости. Случайная дисперсия применяется для расчета средней ошибки:

 

S(t) = , где

m- количество параметров уравнения (a,b,c), по которому проводим аналитическое выравнивание, m=3.

S(t) = = ± 56,48;

Средняя ошибка S(t) для уравнения прямой больше, чем средняя ошибка S(t) для уравнения параболы, поэтому наилучшей моделью тренда, описывающей основную тенденцию динамики объёма бытовых услуг на душу населения за период с 1999 года по 2008 год, является уравнение параболы ỹ_t=838,04+ 101,46t_i+4,07t_i²

Коэффициент колеблемости:

V_колебл = = 56,48/882,815*100=6,39% < 10%

Коэффициент устойчивости:

V_устойч = 100% - V_колебл =93,61 %

Таким образом, можно сделать вывод, что динамика уровней показателя весьма устойчива и возможен долгосрочный прогноз.

 

Прогнозирование

1. Точечный прогноз

Точечный прогноз на 2009 год производим по уравнению параболы:

ỹ₂₀₀₉=838,04+ 101,46t_i+4,07t_i²=838,04+101,46*6+4,07*6²= 1593,32 руб.

ỹ₂₀₁₀=838,04+101,46*7+4,07*7² = 1747,74 руб.

ỹ₂₀₁₁=838,04+101,46*8+4,07*8² = 1910,26 руб.

 

2. Интервальный прогноз

Интервальный прогноз осуществляется путем добавления к точечному прогнозу предельной ошибки прогноза Δ S(t):

Δ S(t) = t*S(t); где

t- критерий Стьюдента; (n-m) – число степеней свободы.

Если дать гарантию прогноза на 95%, то с вероятностью = 0,95 и числом степеней свободы =10-3=7 найдем: t=2,3646

Δ S(t) = 2,3646*56,48 = ±133,55, т.е. ỹ₂₀₀₉= 1593,32 ± 133,55

max ỹ₂₀₀₉= 1593,32+ 133,55 = 1726,87

min ỹ₂₀₀₉= 1593,32 - 133,55 = 1459,77

Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что объем бытовых услуг в 2009 году будет находиться в пределах от 1459,77 до 1726,87 руб.

На рис. 4 представлена динамика объема бытовых услуг на душу населения в Тверской области по параболическому тренду.

Рисунок 4. Динамика объёма бытовых услуг на душу населения в Тверской области