Решение систем линейных уравнений

Система из m -уравнений с n неизвестными следующего вида называется системой линейных уравнений, причем x _j – неизвестные, a _ij –коэффициенты при неизвестных, b _i –свободные коэффициенты:

Также система линейных уравнений может быть описана с помощью матриц и представлена в следующем виде:

A∙X=B

где: X –вектор неизвестных, A – матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы, B –вектор свободных членов системы или вектор правых частей.

Матрица (A|B), которая формируется путем конкатенации исходной матрицы коэффициентов A и вектора-столбца свободных членов B, называется расширенной матрицей системы.

Если все свободные члены системы нулевые, то система линейных уравнений является однородной системой линейных уравнений, в противном случае система называется неоднородной.

Совокупность всех решений системы (x₁, x₂,…, x_n) называется множеством решений или решением системы уравнений. Однородные системы линейных уравнений вида A∙X=0 всегда разрешимы, при этом решения (x₁=0, x₂=0,…, x_n=0) называются тривиальными решениями, поэтому проблема решения однородных систем уравнений сводится к нахождению нетривиальных решений.

Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения, в этом случае она называется несовместной. Если система линейных уравнений имеет решение, то она называется совместной. Совместная система называется определенной, если у нее есть единственное решение и неопределенной, если решений больше чем одно. Совокупность всех решений неопределенной системы уравнений называется ее общим решением, а одно конкретное решение – частным решением. Частное решение, полученное из общего решения при нулевых значениях свободных коэффициентов, называется базисным решением.

При определении совместности системы уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Пусть дана матрица A размером n × m, вычеркиванием из нее некоторых строк или столбцов можно получить квадратные матрицы k -го порядка, определители которых называются минорами порядка k матрицы A. Наивысший порядок не равных нулю миноров матрицы A называют рангом матрицы и обозначают r(A). При элементарных преобразованиях (перестановка строк матриц, умножение строк на число, отличное от нуля и сложение строк) ранг матрицы не меняется. Определение ранга расширенной матрицы системы линейных уравнений необходимо при определении совместности системы уравнений:

1) система n линейных уравнений с m переменными является несовместной, если: r(A|B)>r(A);

2) система n линейных уравнений с mпеременными является совместной, если: r(A|B)=r(A); при этом, если r(A|B)=r(A)=m, то система имеет единственное решение, если r(A|B)=r(A)<m, то система имеет бесконечно много решений.

Определение совместности системы линейных уравнений формулируется теоремой Кронекера-Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Данная теорема имеет два важных следствия:

1) количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения;

2) если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

В системе MATLABдля нахождения ранга матрицы используется команда следующего вида:

r=rank(A)

где: A – исходная матрица, r – величина ранга матрицы A.

Существует множество методов нахождения решений систем линейных уравнений, все методы разделяются на точные и приближенные. Метод решения относится к точным, если с его помощью можно найти решение в результате конечного числа арифметических и логических операций. В частности, к точным методам решения систем линейных уравнений относятся правило Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса.